(EEM-SP) Pode-se medir a temperatura com um termômetro de mercúrio. Neste, a grandeza termométrica é o comprimento L de uma coluna capilar, medida a partir de uma origem comum. Verifica-se que L=2,34 \mathrm{~cm}, quando o termômetro está em equilíbrio térmico com o gelo em fusão, e L=12,34 \mathrm{~cm}, quando o equilíbrio térmico é com a água em ebulição (num ambiente em que a pressão atmosférica é 1 atm ).
a) Calcule o comprimento da coluna de mercúrio quando a temperatura é \theta=25^{\circ} \mathrm{C}.
b) Calcule a temperatura do ambiente quando L=8,84 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado fornece duas medições do comprimento da coluna de mercúrio e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • L=2,34\\ \mathrm{cm} quando a temperatura é a do gelo em fusão, isto é \theta=0^\circ\mathrm{C} (peguei esse dado do enunciado).
    • L=12,34\\ \mathrm{cm} quando a temperatura é a da água em ebulição, isto é \theta=100^\circ\mathrm{C} (peguei esse dado do enunciado).
  • Perguntas:
    • (a) Calcular L quando \theta=25^\circ\mathrm{C}.
    • (b) Calcular \theta quando L=8,84\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Modelo a usar e definição de variáveis (explicando por que): termômetros de mercúrio têm comportamento aproximado linear entre duas referências (0°C e 100°C). Então podemos modelar o comprimento L como uma função afim da temperatura \theta:
L = a\,\theta + b
onde:
  • L é o comprimento da coluna em \mathrm{cm},
  • \theta é a temperatura em ^\circ\mathrm{C},
  • a é a inclinação da reta (quantos \mathrm{cm} a coluna cresce por grau),
  • b é o comprimento quando \theta=0^\circ\mathrm{C} (intercepto).

Passo 3

Usar os dois pontos para achar a e b.
  • Do dado em \theta=0^\circ\mathrm{C}: substituindo na equação,
L(0)=a\cdot 0 + b \Rightarrow b = 2,34.
  • Do dado em \theta=100^\circ\mathrm{C}: substituindo,
12,34 = a\cdot 100 + b.
Substituindo b=2,34,
12,34 = 100a + 2,34.
Subtraindo 2,34 dos dois lados,
12,34 - 2,34 = 100a \Rightarrow 10,00 = 100a.
Logo
a = \frac{10,00}{100} = 0,10.
Interpretação: a cada aumento de 1^\circ\mathrm{C} a coluna cresce 0,10\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Equação final do termômetro (modelo linear encontrado):
L = 0,10\,\theta + 2,34.
Vamos usar essa fórmula para responder (a) e (b).

Passo 5

(a) Calcular L para \theta=25^\circ\mathrm{C}. Substituindo na fórmula,
L = 0,10\cdot 25 + 2,34.
Calcule passo a passo:
0,10\cdot 25 = 2,50,
L = 2,50 + 2,34 = 4,84.
Portanto L=4,84\\ \mathrm{cm} quando \theta=25^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

(b) Calcular \theta quando L=8,84\\ \mathrm{cm}. Partimos da equação
L = 0,10\,\theta + 2,34.
Isolando \theta,
\theta = \frac{L - 2,34}{0,10}.
Substituindo L=8,84,
\theta = \frac{8,84 - 2,34}{0,10} = \frac{6,50}{0,10} = 65.
Portanto \theta = 65^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Checagem rápida (confirmação): para \theta=65^\circ\mathrm{C},
L = 0,10\cdot 65 + 2,34 = 6,50 + 2,34 = 8,84,
que bate com o dado, logo está consistente.

Resposta

L=4,84\\ \mathrm{cm} quando \theta=25^\circ\mathrm{C}.
\theta=65^\circ\mathrm{C} quando L=8,84\\ \mathrm{cm}.

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