(EEM-SP) Pode-se medir a temperatura com um termômetro de mercúrio. Neste, a grandeza termométrica é o comprimento
de uma coluna capilar, medida a partir de uma origem comum. Verifica-se que
, quando o termômetro está em equilíbrio térmico com o gelo em fusão, e
, quando o equilíbrio térmico é com a água em ebulição (num ambiente em que a pressão atmosférica é 1 atm ).
a) Calcule o comprimento da coluna de mercúrio quando a temperatura é
.
b) Calcule a temperatura do ambiente quando
.
a) Calcule o comprimento da coluna de mercúrio quando a temperatura é
b) Calcule a temperatura do ambiente quando
Passo 1
O enunciado fornece duas medições do comprimento da coluna de mercúrio e pede duas coisas:
- Dados fornecidos:
-
quando a temperatura é a do gelo em fusão, isto é (peguei esse dado do enunciado). -
quando a temperatura é a da água em ebulição, isto é (peguei esse dado do enunciado).
-
- Perguntas:
- (a) Calcular
quando . - (b) Calcular
quando .
- (a) Calcular
Passo 2
Modelo a usar e definição de variáveis (explicando por que): termômetros de mercúrio têm comportamento aproximado linear entre duas referências (0°C e 100°C). Então podemos modelar o comprimento
como uma função afim da temperatura
:
onde:
-
é o comprimento da coluna em , -
é a temperatura em , -
é a inclinação da reta (quantos a coluna cresce por grau), -
é o comprimento quando (intercepto).
Passo 3
Usar os dois pontos para achar
e
.
- Do dado em
: substituindo na equação,
- Do dado em
: substituindo,
Substituindo
,
Subtraindo
dos dois lados,
Logo
Interpretação: a cada aumento de
a coluna cresce
.
Passo 4
Equação final do termômetro (modelo linear encontrado):
Vamos usar essa fórmula para responder (a) e (b).
Passo 5
(a) Calcular
para
. Substituindo na fórmula,
Calcule passo a passo:
Portanto
quando
.
Passo 6
(b) Calcular
quando
. Partimos da equação
Isolando
,
Substituindo
,
Portanto
.
Passo 7
Checagem rápida (confirmação): para
,
que bate com o dado, logo está consistente.