Um termômetro de escala Celsius tornou-se inexato, conservando, entretanto, seção interna uniforme. Quando as temperaturas são 0^{\circ} \mathrm{C} e 70^{\circ} \mathrm{C}, ele marca, respectivamente, -2^{\circ} e 71^{\circ}. Determine uma fórmula que forneça as temperaturas exatas T em função das que se leem no termômetro defeituoso D. Quais das temperaturas lidas coincidem em valor absoluto?

Passo 1

O enunciado dá duas leituras do termômetro defeituoso e as correspondentes temperaturas reais: quando a temperatura real é 0^\circ\text{C} o termômetro marca -2^\circ, e quando a temperatura real é 70^\circ\text{C} o termômetro marca 71^\circ. As perguntas são: (a) determinar uma fórmula que dá a temperatura exata T em função da leitura D do termômetro defeituoso; (b) descobrir quais leituras D satisfazem que a temperatura real T e a leitura D coincidem em valor absoluto (isto é, |T|=|D|).
Dados relevantes listados explicitamente:
\,T=0^\circ corresponde a D=-2^\circ.
\,T=70^\circ corresponde a D=71^\circ.

Passo 2

Explicação do modelo (passo importante): como o termômetro conserva seção interna uniforme, a relação entre a leitura D e a temperatura real T é linear — isso significa que existe uma escala (fator de multiplicação) e um deslocamento (erro constante) que transformam uma leitura em temperatura real. Modelamos isso por
T = aD + b,
onde a é o fator de escala (quanto cada grau lido equivale em graus reais) e b é o deslocamento (erro constante). Aqui D é a leitura do termômetro defeituoso (em graus) e T é a temperatura real (em graus).

Passo 3

Agora usamos os dois pares conhecidos para obter um sistema para a e b. Substituindo os dados: para D=-2 e T=0 obtemos
0 = a(-2) + b.
Para D=71 e T=70 obtemos
70 = a\cdot 71 + b.
Essas duas equações lineares vão nos permitir encontrar a e b.

Passo 4

Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação
0 = -2a + b
isolamos b:
b = 2a.
Substituo essa expressão de b na segunda equação:
70 = 71a + b = 71a + 2a = 73a.
Logo
a = \frac{70}{73}.
Em seguida
b = 2a = 2\cdot\frac{70}{73} = \frac{140}{73}.

Passo 5

Escrevendo a fórmula final substituindo a e b:
T = \frac{70}{73}D + \frac{140}{73}.
Podemos fatorar para deixar mais intuitivo:
T = \frac{70}{73}(D+2).
Pequena verificação (sempre faça isto na prova): para D=-2 temos T=0; para D=71 temos T=\frac{70}{73}(71+2)=\frac{70}{73}\cdot 73=70. Está coerente.

Passo 6

Agora resolvemos a segunda parte: procurar leituras D tais que |T|=|D|. Usamos a fórmula encontrada e escrevemos a equação
\left|\frac{70}{73}(D+2)\right| = |D|.
Para eliminar o valor absoluto consideramos os dois casos equivalentes sem o módulo:
caso (i) \frac{70}{73}(D+2)=D e caso (ii) \frac{70}{73}(D+2)=-D. Vou resolver cada caso separadamente.

Passo 7

Caso (i): \frac{70}{73}(D+2)=D. Multiplicando ambos os lados por 73 para remover o denominador:
70(D+2) = 73D.
Desenvolvendo:
70D + 140 = 73D.
Isolando D:
140 = 73D - 70D = 3D,
portanto
D = \frac{140}{3}.
Neste caso temos T=D, então a temperatura real correspondente também é
T = \frac{140}{3}.

Passo 8

Caso (ii): \frac{70}{73}(D+2)=-D. Novamente multiplico por 73:
70(D+2) = -73D.
Desenvolvendo:
70D + 140 = -73D.
Isolando D:
140 = -73D - 70D = -143D,
logo
D = -\frac{140}{143}.
Nesse caso T=-D, então a temperatura real correspondente é
T = \frac{140}{143}.

Passo 9

Interpretação final e checagem numérica rápida (útil na prova para ver se os valores fazem sentido):
\frac{140}{3}\approx 46{,}666\ldots e aí T tem o mesmo valor;
-\frac{140}{143}\approx -0{,}979\ldots e aí T\approx 0{,}979\ldots (mesmo valor absoluto). Ambas soluções satisfazem a condição |T|=|D|.

Resposta

T(D)=\dfrac{70}{73}D+\dfrac{140}{73}=\dfrac{70}{73}(D+2)\n
As leituras que coincidem em valor absoluto são D=\dfrac{140}{3} (com T=\dfrac{140}{3}) e D=-\dfrac{140}{143} (com T=\dfrac{140}{143}).

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