Q4:
O discriminante ( \Delta=\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac} ) determina a quantidade de soluções reais de uma equação do segundo grau. Analise as duas equações a seguir:
Equação I: x^{2}-4 x+4=0
Equação II: 3 x^{2}-x+1=0
Qual alternativa descreve corretamente a quantidade de soluções reais para cada equação?
a) Equação I possui duas soluções reais distintas; Equação II não possui soluções reais.
b) Equação I possui uma única solução real; Equação II possui duas soluções reais distintas.
c) Equação I possui uma única solução real; Equação II não possui soluções reais.
d) Equação I não possui soluções reais; Equação II possui uma única solução real.

Passo 1

O enunciado dá duas equações do segundo grau e pede que determinemos a quantidade de soluções reais de cada uma. As equações são:
\text{Equação I: } x^{2}-4x+4=0çã
\text{Equação II: } 3x^{2}-x+1=0çã
Além disso, o enunciado lembra a definição do discriminante \Delta=\mathrm{b}^{2}-4\mathrm{ac}. A pergunta é: qual alternativa (a, b, c ou d) descreve corretamente a quantidade de soluções reais para cada equação?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o discriminante nos diz. Para uma equação quadrática geral
ax^{2}+bx+c=0,
o discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac.
A razão é que as soluções (raízes) dessa equação vêm da fórmula quadrática:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
  • Se \Delta>0, então \sqrt{\Delta} é um número real positivo e há duas soluções reais distintas (porque -b+\sqrt{\Delta} e -b-\sqrt{\Delta} são diferentes).
  • Se \Delta=0, então \sqrt{\Delta}=0 e a fórmula dá uma única solução real (uma raiz dupla): x=-\dfrac{b}{2a}.
  • Se \Delta<0, então \sqrt{\Delta} é imaginário (não real) e a equação não tem soluções reais (tem duas complexas conjugadas).
Isso é tudo o que precisamos para decidir quantas soluções reais cada equação tem.

Passo 3

Agora aplicamos isso à Equação I. Identificamos os coeficientes:
a=1,\quad b=-4,\quad c=4.
Calculamos o discriminante passo a passo:
\Delta=b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot4.
Calculemos os termos:
(-4)^{2}=16,\qquad 4\cdot1\cdot4=16,
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\Delta=16-16=0.
Como \Delta=0, pela regra acima a Equação I tem uma única solução real (uma raiz dupla). Para ver a raiz explicitamente, podemos fatorar:
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2},
então a única solução é x=2 (com multiplicidade 2).

Passo 4

Agora a Equação II. Identificamos os coeficientes:
a=3,\quad b=-1,\quad c=1.
Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\cdot3\cdot1.
Calculemos os termos:
(-1)^{2}=1,\qquad 4\cdot3\cdot1=12,
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\Delta=1-12=-11.
Como \Delta=-11<0, o discriminante é negativo, portanto a Equação II não possui soluções reais (tem duas raízes complexas conjugadas).

Passo 5

Resumo do que encontramos:
  • Equação I: \Delta=0 ⇒ uma única solução real.
  • Equação II: \Delta=-11<0 ⇒ nenhuma solução real.
Comparando com as alternativas, a que corresponde a “Equação I possui uma única solução real; Equação II não possui soluções reais” é a alternativa c).

Resposta

c)

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