Q4:
O discriminante (
) determina a quantidade de soluções reais de uma equação do segundo grau. Analise as duas equações a seguir:
Equação I:
Equação II:
Qual alternativa descreve corretamente a quantidade de soluções reais para cada equação?
a) Equação I possui duas soluções reais distintas; Equação II não possui soluções reais.
b) Equação I possui uma única solução real; Equação II possui duas soluções reais distintas.
c) Equação I possui uma única solução real; Equação II não possui soluções reais.
d) Equação I não possui soluções reais; Equação II possui uma única solução real.
O discriminante (
Equação II:
Qual alternativa descreve corretamente a quantidade de soluções reais para cada equação?
a) Equação I possui duas soluções reais distintas; Equação II não possui soluções reais.
b) Equação I possui uma única solução real; Equação II possui duas soluções reais distintas.
c) Equação I possui uma única solução real; Equação II não possui soluções reais.
d) Equação I não possui soluções reais; Equação II possui uma única solução real.
Passo 1
O enunciado dá duas equações do segundo grau e pede que determinemos a quantidade de soluções reais de cada uma. As equações são:
Além disso, o enunciado lembra a definição do discriminante
. A pergunta é: qual alternativa (a, b, c ou d) descreve corretamente a quantidade de soluções reais para cada equação?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o discriminante nos diz. Para uma equação quadrática geral
o discriminante é
A razão é que as soluções (raízes) dessa equação vêm da fórmula quadrática:
- Se
, então é um número real positivo e há duas soluções reais distintas (porque e são diferentes). - Se
, então e a fórmula dá uma única solução real (uma raiz dupla): . - Se
, então é imaginário (não real) e a equação não tem soluções reais (tem duas complexas conjugadas).
Isso é tudo o que precisamos para decidir quantas soluções reais cada equação tem.
Passo 3
Agora aplicamos isso à Equação I. Identificamos os coeficientes:
Calculamos o discriminante passo a passo:
Calculemos os termos:
logo
Como
, pela regra acima a Equação I tem uma única solução real (uma raiz dupla). Para ver a raiz explicitamente, podemos fatorar:
então a única solução é
(com multiplicidade 2).
Passo 4
Agora a Equação II. Identificamos os coeficientes:
Calculamos o discriminante:
Calculemos os termos:
logo
Como
, o discriminante é negativo, portanto a Equação II não possui soluções reais (tem duas raízes complexas conjugadas).
Passo 5
Resumo do que encontramos:
- Equação I:
⇒ uma única solução real. - Equação II:
⇒ nenhuma solução real.
Comparando com as alternativas, a que corresponde a “Equação I possui uma única solução real; Equação II não possui soluções reais” é a alternativa c).
Resposta
c)