Q3:
Uma fábrica recebeu uma encomenda para produzir x pacotes de canetas para serem distribuídas como divulgação em um evento. O custo para produzi-los é dado por 235,5+\frac{7}{5} x reais e a receita esperada é de 100+\frac{7 \sqrt{2}}{2} x reais. Dado que lucro é dado por receita menos custo ( L=R-C ) e que a fábrica deseja obter um lucro igual ou superior a 300 reais, qual o número mínimo de pacotes de caneta produzidos que a fábrica deve aceitar produzir? Considere \sqrt{2} \approx 1,4.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
  • Dados: C(x)=235,5+\frac{7}{5}x
R(x)=100+\frac{7\sqrt{2}}{2}x
(o enunciado pede para usar \sqrt{2}\approx1,4).
  • Definição de lucro: L(x)=R(x)-C(x).
  • Condição exigida: L(x)\ge 300.
  • Pergunta: qual o menor número inteiro de pacotes x que satisfaz L(x)\ge 300?
Observação: x representa quantidade de pacotes, logo deve ser um número inteiro não-negativo.

Passo 2

Calcular a expressão de L(x) substituindo R(x) e C(x), primeiro de forma simbólica e depois usando \sqrt{2}\approx1,4.
Subtraindo:
L(x)=\Bigl(100+\frac{7\sqrt{2}}{2}x\Bigr)-\Bigl(235,5+\frac{7}{5}x\Bigr).
Agora aproximamos \sqrt{2} por 1,4. Calculamos os coeficientes que multiplicam x:
\frac{7\sqrt{2}}{2}\approx\frac{7\cdot 1,4}{2}=\frac{9,8}{2}=4,9
\frac{7}{5}=1,4.
Substituindo esses valores em L(x):
L(x)=100+4,9x-235,5-1,4x.
Agrupando termos:
L(x)=(100-235,5)+(4,9-1,4)x=-135,5+3,5x.
Breve explicação didática: aqui tratamos L(x) como uma função afim (reta) da forma \;L(x)=ax+b\;, onde a é a inclinação (quanto o lucro muda quando produzimos mais um pacote) e b é o termo constante (lucro quando x=0). Encontramos a=3,5 e b=-135,5.

Passo 3

Impor a condição L(x)\ge 300 e resolver a inequação:
-135,5+3,5x\ge 300.
Somamos 135,5 em ambos os lados:
3,5x\ge 300+135,5 = 435,5.
Dividimos ambos os lados por 3,5. Como 3,5>0, o sinal da inequação não muda:
x\ge \frac{435,5}{3,5}.
Para dividir de forma clara, multiplicamos numerador e denominador por 10:
\frac{435,5}{3,5}=\frac{4355}{35}.
Fazendo a divisão: 35\cdot124=4340 e sobra 15, então
\frac{4355}{35}=124+\frac{15}{35}=124+\frac{3}{7}=124,428571\ldots
Logo:
x\ge 124,428571\ldots
Explicação didática: a solução da inequação nos dá a menor quantidade real que garante o lucro desejado. Mas como x deve ser inteiro, precisamos escolher o menor inteiro maior ou igual a esse valor.

Passo 4

Converter para o menor número inteiro admissível (arredondamento para cima, “ceiling”):
Como x deve ser inteiro, o menor inteiro que satisfaz x\ge 124,428571\ldots é x=125.
Vamos verificar para fixar a ideia:
Cálculo do lucro em x=125:
L(125)=-135,5+3,5\cdot125=-135,5+437,5=302.
Portanto L(125)=302\ge 300, satisfaz a condição.
Cálculo do lucro em x=124 (para ver que 124 não basta):
L(124)=-135,5+3,5\cdot124=-135,5+434=298,5,
que é menor que 300. Logo 124 não é suficiente.

Passo 5

Conclusão final: o menor número inteiro de pacotes que garante lucro de pelo menos 300 reais é 125. Respirei junto com você — deu certo!

Resposta

125

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