Q3:
Uma fábrica recebeu uma encomenda para produzir
pacotes de canetas para serem distribuídas como divulgação em um evento. O custo para produzi-los é dado por
reais e a receita esperada é de
reais. Dado que lucro é dado por receita menos custo (
) e que a fábrica deseja obter um lucro igual ou superior a 300 reais, qual o número mínimo de pacotes de caneta produzidos que a fábrica deve aceitar produzir? Considere
.
Uma fábrica recebeu uma encomenda para produzir
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue.
- Dados:
(o enunciado pede para usar
).
- Definição de lucro:
- Condição exigida:
- Pergunta: qual o menor número inteiro de pacotes
que satisfaz ?
Observação:
representa quantidade de pacotes, logo deve ser um número inteiro não-negativo.
Passo 2
Calcular a expressão de
substituindo
e
, primeiro de forma simbólica e depois usando
.
Subtraindo:
Agora aproximamos
por
. Calculamos os coeficientes que multiplicam
:
Substituindo esses valores em
:
Agrupando termos:
Breve explicação didática: aqui tratamos
como uma função afim (reta) da forma
, onde
é a inclinação (quanto o lucro muda quando produzimos mais um pacote) e
é o termo constante (lucro quando
). Encontramos
e
.
Passo 3
Impor a condição
e resolver a inequação:
Somamos
em ambos os lados:
Dividimos ambos os lados por
. Como
, o sinal da inequação não muda:
Para dividir de forma clara, multiplicamos numerador e denominador por
:
Fazendo a divisão:
e sobra
, então
Logo:
Explicação didática: a solução da inequação nos dá a menor quantidade real que garante o lucro desejado. Mas como
deve ser inteiro, precisamos escolher o menor inteiro maior ou igual a esse valor.
Passo 4
Converter para o menor número inteiro admissível (arredondamento para cima, “ceiling”):
Como
deve ser inteiro, o menor inteiro que satisfaz
é
.
Vamos verificar para fixar a ideia:
Cálculo do lucro em
:
Portanto
, satisfaz a condição.
Cálculo do lucro em
(para ver que 124 não basta):
que é menor que
. Logo
não é suficiente.
Passo 5
Conclusão final: o menor número inteiro de pacotes que garante lucro de pelo menos
reais é
. Respirei junto com você — deu certo!