Efetue:
\frac{4 i-1}{1+2 i}

Passo 1

O enunciado pede que eu efetue a operação entre números complexos
\frac{4 i - 1}{1 + 2 i}.
Informações dadas:
  • Numerador: -1 + 4 i.
  • Denominador: 1 + 2 i.
    O objetivo é escrever o quociente na forma padrão a + b i, com a e b números reais.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para dividir complexos sem deixar i no denominador, multiplico numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 1+2i é 1-2i. Isso funciona porque
(1+2i)(1-2i)=1^2-(2i)^2=1-4i^2=1-4(-1)=1+4=5,
ou seja, o produto do número pelo seu conjugado é um número real (a soma dos quadrados das partes reais e imaginárias), e então o denominador fica real.

Passo 3

Multiplico numerador e denominador por 1-2i:
\frac{4 i - 1}{1 + 2 i} = \frac{(-1 + 4 i)(1 - 2 i)}{(1 + 2 i)(1 - 2 i)}.
Já calculamos o denominador acima e obtivemos
(1 + 2 i)(1 - 2 i)=5.

Passo 4

Agora calculo o numerador passo a passo. Faço a distributiva:
(-1 + 4 i)(1 - 2 i) = (-1)\cdot 1 + (-1)\cdot(-2 i) + (4 i)\cdot 1 + (4 i)\cdot(-2 i).
Calculo cada termo:
(-1)\cdot 1 = -1, \qquad (-1)\cdot(-2 i)=+2 i, \qquad (4 i)\cdot 1 = 4 i, \qquad (4 i)\cdot(-2 i) = -8 i^2.
Como \,i^2=-1, então -8 i^2 = -8(-1)=+8. Somando as partes real e imaginária:
\text{parte real: } -1 + 8 = 7, \qquad \text{parte imaginária: } 2 i + 4 i = 6 i.á
Logo o numerador é 7 + 6 i.

Passo 5

Divido o numerador real e imaginário pelo denominador real 5:
\frac{7+6 i}{5}=\frac{7}{5}+\frac{6}{5}i.
Esta é a forma padrão a + b i.

Passo 6

Cheque rápido (opcional): multiplicando \left(\dfrac{7}{5}+\dfrac{6}{5}i\right) por 1+2i deve retornar o numerador original -1+4i. Esse é um bom jeito de verificar cálculo em prova.

Resposta

\dfrac{7}{5}+\dfrac{6}{5}i

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