Efetue as integrais indefinidas abaixo. Não se esqueça de inserir a constante de integração C.
\int\left(x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}\right)\,dx,
e lembrar de incluir a constante de integração C. As informações dadas são exatamente os termos do polinômio dentro da integral: \,x^{7},x^{6},x^{5},x^{4},x^{3},x^{2}\,.

Passo 2

Regra que vamos usar (Regra da potência para integrais): para qualquer número real n diferente de -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui:
  • x é a variável de integração;
  • n é o expoente de x;
  • C é a constante de integração, que aparece porque a integral é indefinida.
    Exemplo pequenino para fixar: com n=1,
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C,
pois aplicando a fórmula com n=1 \dfrac{x^{1+1}}{1+1}=\dfrac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Outra propriedade importante: a integral é linear, isto é, soma de integrais é integral da soma. Assim podemos integrar termo a termo:
\int\left(x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}\right)\,dx = \int x^{7}\,dx+\int x^{6}\,dx+\int x^{5}\,dx+\int x^{4}\,dx+\int x^{3}\,dx+\int x^{2}\,dx.

Passo 4

Integrando o primeiro termo usando a regra da potência com n=7:
\int x^{7}\,dx = \frac{x^{8}}{8}.

Passo 5

Integrando o segundo termo com n=6:
\int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7}.

Passo 6

Integrando o terceiro termo com n=5:
\int x^{5}\,dx = \frac{x^{6}}{6}.

Passo 7

Integrando o quarto termo com n=4:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.

Passo 8

Integrando o quinto termo com n=3:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.

Passo 9

Integrando o sexto termo com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 10

Somando todos os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos a antiderivada completa:
\frac{x^{8}}{8}+\frac{x^{7}}{7}+\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+C.

Resposta

\dfrac{x^{8}}{8}+\dfrac{x^{7}}{7}+\dfrac{x^{6}}{6}+\dfrac{x^{5}}{5}+\dfrac{x^{4}}{4}+\dfrac{x^{3}}{3}+C

Exercícios relacionados