Efetue as integrais indefinidas abaixo. Não se esqueça de inserir a constante de integração C.
\int\left(12 x^{5}-9 x^{2}+4 x-7\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da função dada. Especificamente, precisamos calcular
\int\left(12 x^{5}-9 x^{2}+4 x-7\right)\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é \;12 x^{5}-9 x^{2}+4 x-7\;.
  • Deve ser inserida a constante de integração C no resultado final.

Passo 2

Regra básica que vou usar primeiro: a integral é linear, ou seja, a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em fórmula:
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes e f(x),g(x) são funções de x. Aqui a e b podem ser números como 12, -9, etc.

Passo 3

Outra regra fundamental: regra da potência para antiderivadas. Para qualquer número real n diferente de -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicando: n é o expoente de x. A primitiva aumenta o expoente em 1 (fica n+1) e divide pelo novo expoente n+1. O +C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando linearidade, escrevo a integral como soma de integrais dos termos:
\int\left(12 x^{5}-9 x^{2}+4 x-7\right)\,dx = \int 12 x^{5}\,dx \;-\; \int 9 x^{2}\,dx \;+\; \int 4 x\,dx \;-\; \int 7\,dx.

Passo 5

Agora aplico a regra da potência a cada termo, lembrando que posso tirar constantes multiplicativas para fora da integral:
Para o primeiro termo:
\int 12 x^{5}\,dx = 12\int x^{5}\,dx = 12\cdot\frac{x^{6}}{6} = 2x^{6}.

Passo 6

Segundo, terceiro e quarto termos:
\int 9 x^{2}\,dx = 9\int x^{2}\,dx = 9\cdot\frac{x^{3}}{3} = 3x^{3},
\int 4 x\,dx = 4\int x^{1}\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2} = 2x^{2},
\int 7\,dx = 7\int 1\,dx = 7x.
Como havia sinal menos em alguns termos, mantenho os sinais corretamente.

Passo 7

Somando todas as primitivas (e incluindo a constante de integração C):
\int\left(12 x^{5}-9 x^{2}+4 x-7\right)\,dx = 2x^{6} - 3x^{3} + 2x^{2} - 7x + C.

Passo 8

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando o resultado obtido deve voltar ao integrando. De fato,
\frac{d}{dx}\big(2x^{6} - 3x^{3} + 2x^{2} - 7x + C\big) = 12x^{5} - 9x^{2} + 4x - 7,
que é exatamente o integrando original. Então a primitiva está correta.

Resposta

\;2x^{6}-3x^{3}+2x^{2}-7x+C\;

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