Efetue as operações e simplifique quando possível
\frac{x^{2}-4 x+4}{x^{2}-1} \cdot \frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-2 x} \div \frac{x+2}{x^{2}-4} (1,6 pt)

Passo 1

O enunciado pede para efetuar as operações e simplificar a expressão
\frac{x^{2}-4 x+4}{x^{2}-1} \cdot \frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-2 x} \div \frac{x+2}{x^{2}-4}.
Informações dadas:
\text{Primeiro fator: } \frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-1},\qquad \text{Segundo fator: } \frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-2x},\qquad \text{Terceiro (a dividir): } \frac{x+2}{x^{2}-4}.
Objetivo: calcular essa expressão totalmente simplificada (fazer as operações e cancelar fatores comuns quando possível).

Passo 2

Estratégia (o que vou fazer agora, explicado de forma didática):
  1. Converter a divisão por \dfrac{x+2}{x^{2}-4} em multiplicação pelo recíproco, ou seja, multiplicar por \dfrac{x^{2}-4}{x+2}. Isso é uma regra básica de frações: dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso dessa fração.
  2. Fatorar todos os polinômios em numeradores e denominadores para ver fatores comuns que possam ser cancelados. Vou explicar como fatorar cada tipo que aparece aqui:
    • Trinômio quadrado perfeito: \,a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2} e \,a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}.
    • Diferença de quadrados: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
    • Fator comum óbvio: por exemplo x^{2}-2x=x(x-2).
  3. Depois de fatorar, multiplicar numeradores entre si e denominadores entre si e cancelar fatores idênticos (lembrando que só podemos cancelar fatores não nulos — vou anotar as restrições nas quais a expressão original não está definida).

Passo 3

Fatoração dos polinômios (aqui eu mostro passo a passo cada fatoração e o porquê):
  • \,x^{2}-4x+4 é um trinômio quadrado perfeito: compare com a^{2}-2ab+b^{2}. Aqui a=x e b=2, então
x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
  • \,x^{2}-1 é diferença de quadrados com a=x e b=1, então
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
  • \,x^{2}+2x+1 é outro trinômio quadrado perfeito com a=x e b=1, logo
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
  • \,x^{2}-2x tem fator comum x, então
x^{2}-2x=x(x-2).
  • \,x^{2}-4 é diferença de quadrados com a=x e b=2, então
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 4

Converter a divisão em multiplicação pelo recíproco e substituir as fatorações obtidas:
\frac{x^{2}-4 x+4}{x^{2}-1} \cdot \frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-2 x} \div \frac{x+2}{x^{2}-4} = \frac{(x-2)^{2}}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x+1)^{2}}{x(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}.
Expliquei o último fator porque o recíproco de \dfrac{x+2}{x^{2}-4} é \dfrac{x^{2}-4}{x+2}, e substituí x^{2}-4 por (x-2)(x+2).

Passo 5

Multiplicar numeradores e denominadores (vamos reunir fatores iguais para poder cancelar com calma):
Numerador (produto dos numeradores):
(x-2)^{2}\cdot (x+1)^{2}\cdot (x-2)(x+2) = (x-2)^{3}\,(x+1)^{2}\,(x+2).
Denominador (produto dos denominadores):
(x-1)(x+1)\cdot x(x-2)\cdot (x+2) = x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2).

Passo 6

Cancelar fatores comuns (regra: se um fator aparece no numerador e no denominador, e não é zero, podemos simplificá-lo):
  • O fator (x+2) aparece tanto no numerador quanto no denominador → cancela.
  • O fator (x-2) aparece com potência 3 no numerador e com potência 1 no denominador → resta (x-2)^{2} no numerador após cancelar uma cópia.
  • O fator (x+1) aparece com potência 2 no numerador e com potência 1 no denominador → resta (x+1) no numerador após cancelar uma cópia.
Fazendo os cancelamentos, sobra:
\frac{(x-2)^{2}(x+1)}{x(x-1)}.

Passo 7

Anotar as restrições (valores de x proibidos) — importante porque ao cancelar fatores a expressão simplificada pode ocultar pontos onde a expressão original era indefinida. Listei todas as raízes dos denominadores iniciais:
  • De x^{2}-1: x=\pm 1 são proibidos.
  • De x^{2}-2x: x=0 e x=2 são proibidos.
  • De x^{2}-4 (no divisor original): x=\pm 2 são proibidos.
    Além disso, o terceiro fator que dividimos era \dfrac{x+2}{x^{2}-4}; seu denominador anula em x=\pm 2 (já listados). Portanto os valores proibidos finais são
x\neq -2,\\\ -1,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 2.
Mesmo que a forma simplificada não mostre, esses valores não pertencem ao domínio da expressão original.

Resposta

\frac{(x-2)^{2}(x+1)}{x(x-1)}
Restrições: x\neq -2,\\\ -1,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 2

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