Efetue as operações e simplifique quando possível
(1,6 pt)
Passo 1
O enunciado pede para efetuar as operações e simplificar a expressão
Informações dadas:
Objetivo: calcular essa expressão totalmente simplificada (fazer as operações e cancelar fatores comuns quando possível).
Passo 2
Estratégia (o que vou fazer agora, explicado de forma didática):
- Converter a divisão por
em multiplicação pelo recíproco, ou seja, multiplicar por . Isso é uma regra básica de frações: dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso dessa fração. - Fatorar todos os polinômios em numeradores e denominadores para ver fatores comuns que possam ser cancelados. Vou explicar como fatorar cada tipo que aparece aqui:
- Trinômio quadrado perfeito:
e . - Diferença de quadrados:
. - Fator comum óbvio: por exemplo
.
- Trinômio quadrado perfeito:
- Depois de fatorar, multiplicar numeradores entre si e denominadores entre si e cancelar fatores idênticos (lembrando que só podemos cancelar fatores não nulos — vou anotar as restrições nas quais a expressão original não está definida).
Passo 3
Fatoração dos polinômios (aqui eu mostro passo a passo cada fatoração e o porquê):
-
é um trinômio quadrado perfeito: compare com . Aqui e , então
-
é diferença de quadrados com e , então
-
é outro trinômio quadrado perfeito com e , logo
-
tem fator comum , então
-
é diferença de quadrados com e , então
Passo 4
Converter a divisão em multiplicação pelo recíproco e substituir as fatorações obtidas:
Expliquei o último fator porque o recíproco de
é
, e substituí
por
.
Passo 5
Multiplicar numeradores e denominadores (vamos reunir fatores iguais para poder cancelar com calma):
Numerador (produto dos numeradores):
Numerador (produto dos numeradores):
Denominador (produto dos denominadores):
Passo 6
Cancelar fatores comuns (regra: se um fator aparece no numerador e no denominador, e não é zero, podemos simplificá-lo):
- O fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador → cancela. - O fator
aparece com potência no numerador e com potência no denominador → resta no numerador após cancelar uma cópia. - O fator
aparece com potência no numerador e com potência no denominador → resta no numerador após cancelar uma cópia.
Fazendo os cancelamentos, sobra:
Passo 7
Anotar as restrições (valores de
proibidos) — importante porque ao cancelar fatores a expressão simplificada pode ocultar pontos onde a expressão original era indefinida. Listei todas as raízes dos denominadores iniciais:
- De
: são proibidos. - De
: e são proibidos. - De
(no divisor original): são proibidos.
Além disso, o terceiro fator que dividimos era; seu denominador anula em (já listados). Portanto os valores proibidos finais são
Mesmo que a forma simplificada não mostre, esses valores não pertencem ao domínio da expressão original.
Resposta
Restrições: