Faça as divisões polinomiais ( \mathbf{1 , 5} pt cada)
\frac{2 x^{4}+3 x^{3}-x+5}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio \,2x^{4}+3x^{3}-x+5\, pelo polinômio \,x^{2}+1.\n
Informações dadas:
\text{Dividendo} = 2x^{4}+3x^{3}+0x^{2}-x+5
\text{Divisor} = x^{2}+0x+1
Objetivo: encontrar o quociente e o resto da divisão polinomial, ou escrever a divisão na forma
\text{quociente}+\frac{\text{resto}}{x^{2}+1}.

Passo 2

Mini-aula rápida sobre divisão de polinômios (jeito prático para prova):
  • A ideia é igual à divisão de números: dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor para obter o primeiro termo do quociente.
  • Multiplicamos o divisor por esse termo do quociente e subtraímos do dividendo, obtendo um novo polinômio (resto parcial).
  • Repetimos o processo com o novo resto até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor; então paramos.
  • Graus: o grau do dividendo é 4 e do divisor é 2. O quociente terá grau 4-2=2 no máximo.
    Vou aplicar isso passo a passo, mostrando cada conta explicitamente.

Passo 3

Primeira etapa da divisão:
  • Dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor:
\frac{2x^{4}}{x^{2}} = 2x^{2}.
  • Multiplicamos o divisor por 2x^{2}:
2x^{2}\cdot(x^{2}+1)=2x^{4}+2x^{2}.
  • Subtraímos esse produto do dividendo (usei o dividendo com o termo 0x^{2} explícito):
(2x^{4}+3x^{3}+0x^{2}-x+5)-(2x^{4}+0x^{3}+2x^{2})=3x^{3}-2x^{2}-x+5.
Portanto, após a primeira etapa o quociente parcial é 2x^{2} e o resto parcial é 3x^{3}-2x^{2}-x+5.

Passo 4

Segunda etapa:
  • Dividimos o termo de maior grau do resto parcial pelo termo de maior grau do divisor:
\frac{3x^{3}}{x^{2}} = 3x.
  • Multiplicamos o divisor por 3x:
3x\cdot(x^{2}+1)=3x^{3}+3x.
  • Subtraímos do resto parcial anterior:
(3x^{3}-2x^{2}-x+5)-(3x^{3}+0x^{2}+3x)=-2x^{2}-4x+5.
Agora o quociente parcial é 2x^{2}+3x e o novo resto é -2x^{2}-4x+5.

Passo 5

Terceira etapa:
  • Dividimos o termo de maior grau do novo resto pelo termo de maior grau do divisor:
\frac{-2x^{2}}{x^{2}} = -2.
  • Multiplicamos o divisor por -2:
-2\cdot(x^{2}+1)=-2x^{2}-2.
  • Subtraímos:
(-2x^{2}-4x+5)-(-2x^{2}-2) = -4x+7.
O quociente agora é 2x^{2}+3x-2 e o resto final é -4x+7.

Passo 6

Condição de parada e forma final:
  • O resto final é -4x+7, que tem grau 1. Como o divisor x^{2}+1 tem grau 2, o grau do resto é menor que o do divisor, então a divisão termina.
  • A divisão pode ser escrita como
2x^{2}+3x-2+\frac{-4x+7}{x^{2}+1}.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova para checar erros):
  • Multiplico o divisor pelo quociente e somo o resto, devo voltar ao dividendo:
(x^{2}+1)(2x^{2}+3x-2)+(-4x+7).
Calculemos:
(x^{2})(2x^{2}+3x-2)=2x^{4}+3x^{3}-2x^{2},
1\cdot(2x^{2}+3x-2)=2x^{2}+3x-2,
somando:
2x^{4}+3x^{3}+0x^{2}+3x-2,
agora somando o resto -4x+7:
2x^{4}+3x^{3}+0x^{2}+3x-2+(-4x+7)=2x^{4}+3x^{3}+0x^{2}-x+5,
que é exatamente o dividendo original. Está correto — ótima checagem!

Resposta

2x^{2}+3x-2+\frac{-4x+7}{x^{2}+1}

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