Efetue as operações e simplifique quando possível
\frac{1}{x^{2}-9}+\frac{3}{x-3} (1 pt)

Passo 1

O enunciado pede para efetuar as operações e simplificar quando possível a expressão
\frac{1}{x^{2}-9}+\frac{3}{x-3}.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
\text{a expressão é } \frac{1}{x^{2}-9}+\frac{3}{x-3}.ãé
Restrições de domínio que já podemos anotar (porque aparecem denominadores): x\neq 3 e x\neq -3. Essas restrições são importantes e valem durante toda a resolução.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: fatorar o denominador x^{2}-9. Isso é um caso clássico de diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Aqui a=x e b=3, portanto
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Isso transforma a primeira fração em
\frac{1}{x^{2}-9}=\frac{1}{(x-3)(x+3)}.

Passo 3

Para somar frações com denominadores diferentes precisamos ter o mesmo denominador (o chamado mínimo múltiplo comum dos denominadores). Os denominadores atuais são (x-3)(x+3) e (x-3). O mínimo múltiplo comum é
\text{MMC}=(x-3)(x+3).
A primeira fração já tem esse denominador. Para a segunda fração \frac{3}{x-3} devemos multiplicar numerador e denominador por (x+3) para obter o mesmo denominador (lembrando que multiplicar numerador e denominador pela mesma expressão não altera o valor da fração, desde que não seja zero):
\frac{3}{x-3}=\frac{3}{x-3}\cdot\frac{x+3}{x+3}=\frac{3(x+3)}{(x-3)(x+3)}.

Passo 4

Agora ambas as frações têm denominador comum (x-3)(x+3), então podemos somar os numeradores mantendo esse denominador:
\frac{1}{(x-3)(x+3)}+\frac{3(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{1+3(x+3)}{(x-3)(x+3)}.

Passo 5

Vamos desenvolver o numerador com cuidado (usar a propriedade distributiva): primeiro expandir 3(x+3):
3(x+3)=3x+9.
Somando com o 1 que já estava:
1+3(x+3)=1+(3x+9)=3x+10.
Portanto a soma fica
\frac{3x+10}{(x-3)(x+3)}.

Passo 6

Agora verificar se é possível simplificar cancelando fatores comuns entre numerador e denominador. O numerador é 3x+10. Para haver cancelamento precisaríamos que 3x+10 tivesse um fator comum com (x-3) ou com (x+3), ou seja, que 3x+10 fosse múltiplo de algum desses fatores como polinômio. Podemos checar rapidamente se x=3 ou x=-3 anulam o numerador:
3(3)+10=9+10=19\neq 0,\qquad 3(-3)+10=-9+10=1\neq 0.
Logo 3x+10 não tem (x-3) nem (x+3) como fator, portanto não há simplificação algébrica adicional possível. Lembre-se também das restrições de domínio já anotadas: x\neq 3 e x\neq -3.

Passo 7

Breve observação didática e exemplo rápido para fixar: o procedimento usado foi
  1. fatorar denominadores (usar diferença de quadrados); 2) igualar denominadores multiplicando numerador e denominador; 3) somar numeradores; 4) tentar simplificar cancelando fatores comuns. Exemplo semelhante: para somar \frac{1}{x^{2}-1}+\frac{2}{x-1} você faria x^{2}-1=(x-1)(x+1), transformaria a segunda fração em \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} e somaria os numeradores.

Resposta

\displaystyle \frac{3x+10}{(x-3)(x+3)}

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