Efetue as operações e simplifique quando possível
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Passo 1
O enunciado pede para efetuar as operações e simplificar quando possível a expressão
Informações importantes dadas pelo enunciado:
Restrições de domínio que já podemos anotar (porque aparecem denominadores):
e
. Essas restrições são importantes e valem durante toda a resolução.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: fatorar o denominador
. Isso é um caso clássico de diferença de quadrados. A fórmula da diferença de quadrados é
onde
e
são quaisquer expressões. Aqui
e
, portanto
Isso transforma a primeira fração em
Passo 3
Para somar frações com denominadores diferentes precisamos ter o mesmo denominador (o chamado mínimo múltiplo comum dos denominadores). Os denominadores atuais são
e
. O mínimo múltiplo comum é
A primeira fração já tem esse denominador. Para a segunda fração
devemos multiplicar numerador e denominador por
para obter o mesmo denominador (lembrando que multiplicar numerador e denominador pela mesma expressão não altera o valor da fração, desde que não seja zero):
Passo 4
Agora ambas as frações têm denominador comum
, então podemos somar os numeradores mantendo esse denominador:
Passo 5
Vamos desenvolver o numerador com cuidado (usar a propriedade distributiva): primeiro expandir
:
Somando com o
que já estava:
Portanto a soma fica
Passo 6
Agora verificar se é possível simplificar cancelando fatores comuns entre numerador e denominador. O numerador é
. Para haver cancelamento precisaríamos que
tivesse um fator comum com
ou com
, ou seja, que
fosse múltiplo de algum desses fatores como polinômio. Podemos checar rapidamente se
ou
anulam o numerador:
Logo
não tem
nem
como fator, portanto não há simplificação algébrica adicional possível. Lembre-se também das restrições de domínio já anotadas:
e
.
Passo 7
Breve observação didática e exemplo rápido para fixar: o procedimento usado foi
- fatorar denominadores (usar diferença de quadrados); 2) igualar denominadores multiplicando numerador e denominador; 3) somar numeradores; 4) tentar simplificar cancelando fatores comuns. Exemplo semelhante: para somar
você faria , transformaria a segunda fração em e somaria os numeradores.