Efetue os produtos dados a seguir:
(z-\sqrt{3})(z+\sqrt{3})

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto (z-\sqrt{3})(z+\sqrt{3}).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é o produto de dois binômios em z.
  • O número \sqrt{3} é uma constante (a raiz quadrada de 3).
  • Não há valor numérico dado para z; a resposta será uma expressão em termos de z.

Passo 2

Vamos multiplicar termo a termo (método conhecido como FOIL — First, Outer, Inner, Last). Multiplicando cada termo de (z-\sqrt{3}) por cada termo de (z+\sqrt{3}) obtemos:
(z-\sqrt{3})(z+\sqrt{3}) = z\cdot z \;+\; z\cdot\sqrt{3} \;-\; \sqrt{3}\cdot z \;-\; \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}.

Passo 3

Agora simplificamos cada um dos quatro produtos:
z\cdot z = z^{2},
z\cdot\sqrt{3} = z\sqrt{3},
- \sqrt{3}\cdot z = -z\sqrt{3},
- \sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = -(\sqrt{3})^{2}.

Passo 4

Note que z\sqrt{3} e -z\sqrt{3} são opostos, então se somam a zero:
z\sqrt{3} + (-z\sqrt{3}) = 0.
Portanto a expressão fica
z^{2} + 0 - (\sqrt{3})^{2}.

Passo 5

Calculemos (\sqrt{3})^{2}. Pela definição de raiz quadrada,
(\sqrt{3})^{2} = 3.
Assim a expressão reduz-se a z^{2}-3.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para conferir: se z=2,
(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^{2}-3 = 4-3 = 1,
o que confirma o comportamento da identidade usada.

Resposta

z^{2}-3

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