Efetue os produtos dados a seguir:
(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)

Passo 1

O enunciado pede para efetuar o produto
(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5).
Informações dadas:
  • A expressão envolve a raiz quadrada de x, ou seja \sqrt{x}.
  • O produto é entre uma soma e uma diferença envolvendo a mesma expressão \sqrt{x} e o número 5.
  • Observação sobre domínio: para trabalhar com \sqrt{x} em contexto de números reais, é necessário que x\ge 0.

Passo 2

Lembra daquela identidade muito útil chamada “diferença de quadrados”? Ela diz o seguinte para quaisquer números (ou expressões) a e b:
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
Prova rápida (expansão FOIL): (a+b)(a-b)=a\cdot a + a\cdot(-b) + b\cdot a + b\cdot(-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}.

Passo 3

No nosso caso, identifique as partes da identidade comparando com a expressão dada:
a=\sqrt{x},\qquad b=5.

Passo 4

Aplicando a identidade (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} com esses a e b:
(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)=(\sqrt{x})^{2}-5^{2}.

Passo 5

Agora simplificamos cada termo:
(\sqrt{x})^{2}=x\quad\text{(para }x\ge 0\text{)},
5^{2}=25.

Passo 6

Substituindo as simplificações obtemos o resultado final:
x-25.

Resposta

x-25

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