Efetue os produtos dados a seguir:
\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para efetuar o produto da expressão fornecida e simplificar o resultado. A expressão dada é:
\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right).
Informações relevantes:
  • A variável é \,x\,.
  • Como aparece \dfrac{1}{x}, devemos considerar que \,x \neq 0\, (divisão por zero não é definida).
  • O objetivo é multiplicar as duas expressões e simplificar o resultado.

Passo 2

Vou explicar o método que vou usar: a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição. Ela diz que, para quaisquer quantidades a, b e c,
a(b+c)=ab+ac.
Isto significa que para multiplicar um termo por uma soma, multiplicamos o termo por cada parcela da soma e somamos os resultados. Aqui cada fator tem duas parcelas, então aplicamos a distributiva duas vezes (às vezes chamado de técnica “FOIL” em inglês: First, Outer, Inner, Last).

Passo 3

Aplicando a propriedade distributiva ao nosso produto, multiplicamos cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo. Escrevendo a expansão sem ainda simplificar:
\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right) = x\cdot x + x\cdot\frac{1}{x} - \frac{1}{x}\cdot x - \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora simplificamos cada um dos quatro produtos:
  • x\cdot x = x^{2}.
  • x\cdot\frac{1}{x} = 1, porque multiplicar uma quantidade pelo seu inverso dá 1 (desde que x\neq0).
  • -\frac{1}{x}\cdot x = -1 pelo mesmo motivo anterior, com o sinal negativo.
  • -\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^{2}}.
Substituindo essas simplificações na expansão temos:
x^{2} + 1 - 1 - \frac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Observamos que +1 e -1 se cancelam. Então sobra:
x^{2} - \frac{1}{x^{2}}.
Essa é a forma simplificada do produto. Uma observação útil (identidade) é que isso é um caso particular da identidade
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
aqui com a=x e b=\dfrac{1}{x}, o que também leva a x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}.

Resposta

x^{2}-\frac{1}{x^{2}}

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