EFetue a seguinte divisão polinomial:
, onde
e
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado:
. - Dado:
. - Pedido: efetuar a divisão polinomial
; isto é, encontrar o quociente e o resto quando se divide por .
Passo 2
Lembrete importante (Teorema da divisão para polinômios).
Para quaisquer polinômios
e
com
, existem polinômios únicos
(quociente) e
(resto) tais que
onde
. Aqui
é o quociente procurado e
o resto (um número, se
).
Passo 3
Caso especial útil: divisão por
(Teorema do resto).
Se
, então o resto da divisão de
por
é simplesmente
. Isso é prático porque primeiro podemos calcular
para saber o resto rapidamente.
Passo 4
Calcular o resto usando o Teorema do Resto.
Fazendo as contas:
;
;
. Logo,
portanto o resto da divisão é
. Conclusão:
é fator de
.
Passo 5
Método prático para obter o quociente: divisão sintética (caso
).
Montamos a divisão sintética com
. Pegamos os coeficientes de
:
.
Procedimento:
- Traga para baixo o primeiro coeficiente:
. - Multiplique esse número por
e some ao próximo coeficiente: -
(trazido) . Soma com dá .
-
- Multiplique
por e some ao próximo coeficiente: -
. Soma com dá .
-
- Multiplique
por e some ao próximo coeficiente: -
. Soma com dá (o resto que já vimos).
-
Organizando as etapas em linha:
Os números abaixo da linha (à exceção do último, que é o resto) são os coeficientes do quociente.
Passo 6
Extrair o quociente a partir dos coeficientes obtidos.
Os coeficientes do quociente são
, que correspondem ao polinômio de grau
Passo 7
Verificação rápida (multiplicação para checar).
Multiplicando
pelo quociente:
que é exatamente
. A conta fecha.
Passo 8
Resumo final e incentivo.
- A divisão deu resto zero, ou seja
divide . - O quociente é um polinômio quadrático fácil de lembrar:
. - Se quiser, pode decorar o procedimento da divisão sintética: traz o primeiro coeficiente, multiplica por
, soma embaixo, repete — é rápido na prova e menos sujeito a erro aritmético.
Força aí, você já tem uma técnica que resolve rápido divisões por binômios do tipo
!
Resposta
Quociente:
Resto:
Resto: