EFetue a seguinte divisão polinomial: \frac{P(x)}{Q(x)}, onde P(x)=x^{3}-9 x^{2}+ 23 x-15 e Q(x)=x-1

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: P(x)=x^{3}-9x^{2}+23x-15.
  • Dado: Q(x)=x-1.
  • Pedido: efetuar a divisão polinomial \dfrac{P(x)}{Q(x)}; isto é, encontrar o quociente e o resto quando se divide P(x) por Q(x).

Passo 2

Lembrete importante (Teorema da divisão para polinômios).
Para quaisquer polinômios P(x) e Q(x) com Q(x)\neq0, existem polinômios únicos S(x) (quociente) e R(x) (resto) tais que
P(x)=Q(x)\,S(x)+R(x),
onde \deg R(x)<\deg Q(x). Aqui S(x) é o quociente procurado e R(x) o resto (um número, se \deg Q=1).

Passo 3

Caso especial útil: divisão por x-a (Teorema do resto).
Se Q(x)=x-a, então o resto da divisão de P(x) por Q(x) é simplesmente P(a). Isso é prático porque primeiro podemos calcular P(1) para saber o resto rapidamente.

Passo 4

Calcular o resto usando o Teorema do Resto.
P(1)=1^{3}-9\cdot1^{2}+23\cdot1-15=1-9+23-15.
Fazendo as contas: 1-9=-8; -8+23=15; 15-15=0. Logo,
P(1)=0,
portanto o resto da divisão é 0. Conclusão: x-1 é fator de P(x).

Passo 5

Método prático para obter o quociente: divisão sintética (caso Q(x)=x-a).
Montamos a divisão sintética com a=1. Pegamos os coeficientes de P(x): 1,\,-9,\,23,\,-15.
Procedimento:
  • Traga para baixo o primeiro coeficiente: 1.
  • Multiplique esse número por a=1 e some ao próximo coeficiente:
    • 1 (trazido) \times 1 = 1. Soma com -9 -8.
  • Multiplique -8 por 1 e some ao próximo coeficiente:
    • -8\times1=-8. Soma com 23 15.
  • Multiplique 15 por 1 e some ao próximo coeficiente:
    • 15\times1=15. Soma com -15 0 (o resto que já vimos).
Organizando as etapas em linha:
\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -9 & 23 & -15\\hline & & 1 & -8 & 15 \\\ \end{array}
Os números abaixo da linha (à exceção do último, que é o resto) são os coeficientes do quociente.

Passo 6

Extrair o quociente a partir dos coeficientes obtidos.
Os coeficientes do quociente são 1,\,-8,\,15, que correspondem ao polinômio de grau 2
S(x)=x^{2}-8x+15.

Passo 7

Verificação rápida (multiplicação para checar).
Multiplicando Q(x) pelo quociente:
(x-1)(x^{2}-8x+15)=x^{3}-8x^{2}+15x - x^{2}+8x-15 = x^{3}-9x^{2}+23x-15,
que é exatamente P(x). A conta fecha.

Passo 8

Resumo final e incentivo.
  • A divisão deu resto zero, ou seja x-1 divide P(x).
  • O quociente é um polinômio quadrático fácil de lembrar: x^{2}-8x+15.
  • Se quiser, pode decorar o procedimento da divisão sintética: traz o primeiro coeficiente, multiplica por a, soma embaixo, repete — é rápido na prova e menos sujeito a erro aritmético.
Força aí, você já tem uma técnica que resolve rápido divisões por binômios do tipo x-a!

Resposta

Quociente: x^{2}-8x+15
Resto: 0

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