Efetue as seguintes divisões:
\frac{i^{3}-i^{2}+i^{17}-i^{35}}{i^{16}-i^{13}+i^{30}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\frac{i^{3}-i^{2}+i^{17}-i^{35}}{i^{16}-i^{13}+i^{30}}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve potências inteiras da unidade imaginária i.
  • Não há outras condições; devemos simplificar a fração e apresentar o resultado em forma complexa comum.

Passo 2

Relembrando uma propriedade fundamental sobre potências de i: as potências de i repetem a cada 4 porque
i^1=i,\qquad i^2=-1,\qquad i^3=-i,\qquad i^4=1,
e então i^{n+4}=i^n para todo inteiro n. Portanto, para calcular i^n basta reduzir n módulo 4 e usar a tabela acima. Vou aplicar isso a cada potência que aparece na expressão.

Passo 3

Reduzir os expoentes módulo 4 e substituir:
\begin{aligned} i^{3} &= -\,i,\\[4pt] i^{2} &= -1,\\[4pt] i^{17} &\text{: }17\equiv 1\pmod{4}\Rightarrow i^{17}=i,\\[4pt] i^{35} &\text{: }35\equiv 3\pmod{4}\Rightarrow i^{35}=i^{3}=-\,i,\\[4pt] i^{16} &\text{: }16\equiv 0\pmod{4}\Rightarrow i^{16}=1,\\[4pt] i^{13} &\text{: }13\equiv 1\pmod{4}\Rightarrow i^{13}=i,\\[4pt] i^{30} &\text{: }30\equiv 2\pmod{4}\Rightarrow i^{30}=i^{2}=-1. \end{aligned}]

Passo 4

Calcular o numerador substituindo os valores encontrados:
\begin{aligned} i^{3}-i^{2}+i^{17}-i^{35} &= (-\,i) - (-1) + i - (-\,i)\\[4pt] &= -\,i + 1 + i + i. \end{aligned}
Agora agrupo termos semelhantes (parte real e parte imaginária):
-\,i + i = 0,\qquad \text{resta }1 + i.
Logo o numerador é
i^{3}-i^{2}+i^{17}-i^{35}=1+i.]

Passo 5

Calcular o denominador substituindo os valores:
\begin{aligned} i^{16}-i^{13}+i^{30} &= 1 - i + (-1)\\[4pt] &= (1-1) - i = -\,i. \end{aligned}
Portanto o denominador é -\,i.]

Passo 6

Agora a fração fica
\frac{1+i}{-\,i}.
Vou simplificar essa divisão. Uma maneira simples é usar que \dfrac{1}{i}=-\,i porque i\cdot(-\,i)=-\,i^2=-(-1)=1. Então
\frac{1+i}{-\,i}=-(1+i)\cdot\frac{1}{i}=-(1+i)(-\,i).
Antes de multiplicar, é mais direto dividir por -\,i escrevendo
\frac{1+i}{-\,i}= -\frac{1+i}{i}.

Passo 7

Calculo \dfrac{1+i}{i}. Separando termos:
\frac{1+i}{i}=\frac{1}{i}+\frac{i}{i}=\frac{1}{i}+1.
Usando \dfrac{1}{i}=-\,i, obtemos
\frac{1+i}{i}=-\,i+1=1-\,i.
Logo
-\frac{1+i}{i}=-(1-\,i)=-1+\,i.

Passo 8

Conferindo com um outro método (multiplicando numerador e denominador por i) para garantir consistência:
\frac{1+i}{-\,i}=\frac{(1+i)i}{-\,i\cdot i}=\frac{i+i^{2}}{-\,i^{2}}=\frac{i-1}{-(-1)}=\frac{i-1}{1}=i-1,
e i-1=-1+i, que é o mesmo resultado obtido antes.

Resposta

-1+i

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