Efetue as seguintes divisões:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da expressão
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve potências inteiras da unidade imaginária
. - Não há outras condições; devemos simplificar a fração e apresentar o resultado em forma complexa comum.
Passo 2
Relembrando uma propriedade fundamental sobre potências de
: as potências de
repetem a cada 4 porque
e então
para todo inteiro
. Portanto, para calcular
basta reduzir
módulo
e usar a tabela acima. Vou aplicar isso a cada potência que aparece na expressão.
Passo 3
Reduzir os expoentes módulo
e substituir:
Passo 4
Calcular o numerador substituindo os valores encontrados:
Agora agrupo termos semelhantes (parte real e parte imaginária):
Logo o numerador é
Passo 5
Calcular o denominador substituindo os valores:
Portanto o denominador é
.]
Passo 6
Agora a fração fica
Vou simplificar essa divisão. Uma maneira simples é usar que
porque
. Então
Antes de multiplicar, é mais direto dividir por
escrevendo
Passo 7
Calculo
. Separando termos:
Usando
, obtemos
Logo
Passo 8
Conferindo com um outro método (multiplicando numerador e denominador por
) para garantir consistência:
e
, que é o mesmo resultado obtido antes.