Coloque na forma trigonométrica os números:
i^{3}

Passo 1

O enunciado pede para colocar o número i^{3} na forma trigonométrica.
Informações dadas:
  • A expressão a transformar é i^{3}.
  • Sabe-se que i é a unidade imaginária que satisfaz i^{2}=-1.

Passo 2

Calculemos i^{3} de forma algébrica, usando a propriedade i^{2}=-1:
i^{3}=i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -\,i.

Passo 3

Lembrete sobre a forma trigonométrica (polar) de um número complexo.
Qualquer número complexo z=x+iy pode ser escrito como
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
onde:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
é o módulo (distância ao origem) e \theta é o argumento (ângulo) do vetor (x,y) no plano complexo. O argumento principal costuma ser escolhido em (-\pi,\pi], mas é determinado até adição de múltiplos inteiros de 2\pi.

Passo 4

Aplique isso ao número que encontramos: z=-\,i. Identificando as coordenadas:
x=0,\qquad y=-1.
Calcule o módulo:
r=\sqrt{0^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1}=1.

Passo 5

Determine o argumento \theta. O ponto (0,-1) corresponde ao vetor apontando para baixo, cujo ângulo (no sistema usual) é
\theta=-\frac{\pi}{2}
(se preferir um ângulo positivo equivalente, pode usar \theta=\tfrac{3\pi}{2}). Verificação das razões trigonométricas:
\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,
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1\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{2})+i\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr)=0- i = -\,i,
confirmando que a forma trigonométrica está correta.

Passo 6

Também é útil lembrar da periodicidade: ângulos que diferem por 2k\pi são equivalentes. Assim as formas trigonométricas equivalentes são obtidas somando 2k\pi ao argumento.

Resposta

\;1\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr)
\;1\bigl(\cos\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)+i\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)\bigr)
\;1\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\bigr)\bigr),\;k\in\mathbb{Z}

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