Um circuito RLC obedece a seguinte equação:
onde
é o indutor,
a resistência e
a capacitancia. A fonte
é aplicada num período de tempo
, ou seja,
e
. Admitindo
e
, encontre a equação que rege a corrente
para
a)
, oscilante
b)
, super-amortecido e
b)
, amortecimento crítico. Onde
e
a)
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá a equação do circuito
com condições iniciais
Definem-se
O que se pede: determinar a corrente
(subamortecido / oscilante), (b)
(super-amortecido / sobreamortecido) e (c)
(amortecimento crítico). As soluções valem em dois intervalos:
(durante a aplicação do pulso) e
(após o pulso); portanto será necessário achar a solução em cada intervalo e aplicar o encaixe em
.]
Passo 2
Transformar a equação para uma forma útil. Como
, derivo a equação original em relação a
para eliminar
:
Para
a fonte é constante (
), logo
naquele intervalo e a equação reduz-se à homogênea de segunda ordem:
Dividindo por
obtenho a forma padrão
pois
e
.
Para
também vale a mesma equação homogênea (pois
e portanto
lá). As condições iniciais para resolver no primeiro intervalo são
Para obter
(onde
indica derivada em relação a
), uso a equação original em
:
Portanto
Ao passar por
a fonte tem um salto de
para
; pela equação original a corrente
é contínua em
(a corrente no indutor não salta), mas
tem um salto finito dado por
ou seja
Esse fato será usado para impor a condição inicial da solução no intervalo
.
Passo 3
Resolver a equação homogênea depende do sinal de
. A equação característica é
com raízes
e dupla
no caso crítico
. A partir disso obtemos as formas gerais:
- Subamortecido (
): . - Super-amortecido (
): , que pode ser reescrito como ou como conforme condições. - Crítico (
): .
Agora aplico as condições iniciais para cada caso no intervalo
.
Passo 4
Tomando a forma
as condições
e
dão:
Logo, para
:
Passo 5
Calculo primeiro os valores à esquerda de
:
Pelo salto da derivada:
A solução geral para
(homogênea) pode ser escrita no mesmo formato com tempo contado a partir de
:
Substituindo
e simplificando a combinação
(os termos em
cancelam), obtém-se a forma explícita
Passo 6
Defina
. A solução que satisfaz
pode ser escrita como
Justificação rápida: a forma
com
dá
; impondo
resulta
, o que conduz à expressão acima. Portanto, para
:
Passo 7
Calculo à esquerda de
:
Aplicando o salto da derivada:
A solução para
escrita com hiperbólicas e tempo relativo é
Substituindo e simplificando (novamente há cancelamento dos termos em
) dá a forma explícita
Passo 8
No caso crítico temos raiz dupla
e a solução geral é
. Impor
e
dá:
Portanto, para
:
Passo 9
Calculo à esquerda de
:
Aplicando salto:
A solução geral para
(dupla raiz) é
Substituindo e simplificando (os termos em
se combinam conforme abaixo) resulta
Resposta
(a)
(subamortecido,
)\newline
\newline
(b)
(super-amortecido,
)\newline
\newline
(c)
(amortecimento crítico,
)\newline
\newline