Efetue as seguintes operações (Mostre os detalhes!)
Passo 1
O enunciado pede para efetuar (ou seja, simplificar) a expressão
Informações dadas: temos uma expressão racional que envolve uma fração dentro do denominador. Não há outras condições explícitas no enunciado, então devemos também ficar atentos aos valores de
que tornam a expressão original indefinida.
Passo 2
Identificar as restrições de existência (domínio) da expressão original. A expressão contém
, portanto
não pode ser zero. Além disso, o denominador total não pode ser zero. Vamos anotar essas condições:
E o denominador
não pode ser zero. Calculamos quando isso ocorreria:
Portanto o valor
também é proibido porque tornaria o denominador zero. Conclusão provisória:
Passo 3
Estratégia de simplificação e conceito usado. Uma maneira direta é transformar o denominador em uma única fração e então usar a propriedade de divisão por fração: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Em símbolos:
desde que
e
quando necessários. Vamos aplicar isso transformando
em uma fração única.
Passo 4
Fazer a transformação e simplificação passo a passo.
Primeiro escrevemos o denominador como uma fração com denominador comum
:
Agora substituímos na expressão original:
Aplicando a regra “dividir por fração = multiplicar pelo inverso”:
Observação:
e
são a mesma expressão (comutatividade da adição), então podemos cancelar o fator comum
, mas isso só é permitido quando esse fator não é zero. Já verificamos em Passo 2 que
, então a cancelamento é permitido sob as restrições já anotadas. Cancelando:
Portanto a simplificação algébrica leva a
, desde que respeitemos as restrições
e
.
Passo 5
Verificação numérica rápida para ganhar confiança. Escolhamos
(que está permitido). Calculamos a expressão original:
que bate com o resultado simplificado
. Verificamos também que para
a expressão original fica com denominador zero (indefinida) e para
há
indefinido, então esses valores realmente não são permitidos.