Efetue as seguintes operações (Mostre os detalhes!)
\frac{1+x}{1+\frac{1}{x}} ;

Passo 1

O enunciado pede para efetuar (ou seja, simplificar) a expressão
\frac{1+x}{1+\frac{1}{x}}.
Informações dadas: temos uma expressão racional que envolve uma fração dentro do denominador. Não há outras condições explícitas no enunciado, então devemos também ficar atentos aos valores de x que tornam a expressão original indefinida.

Passo 2

Identificar as restrições de existência (domínio) da expressão original. A expressão contém \frac{1}{x}, portanto x não pode ser zero. Além disso, o denominador total não pode ser zero. Vamos anotar essas condições:
x \neq 0.
E o denominador
1+\frac{1}{x}
não pode ser zero. Calculamos quando isso ocorreria:
1+\frac{1}{x}=0 \iff \frac{x+1}{x}=0 \iff x+1=0 \iff x=-1.
Portanto o valor x=-1 também é proibido porque tornaria o denominador zero. Conclusão provisória:
x \neq 0,\quad x \neq -1.

Passo 3

Estratégia de simplificação e conceito usado. Uma maneira direta é transformar o denominador em uma única fração e então usar a propriedade de divisão por fração: dividir por \frac{A}{B} é o mesmo que multiplicar por \frac{B}{A}. Em símbolos:
\frac{u}{\frac{v}{w}} = u\cdot\frac{w}{v},
desde que v\neq 0 e w\neq 0 quando necessários. Vamos aplicar isso transformando 1+\frac{1}{x} em uma fração única.

Passo 4

Fazer a transformação e simplificação passo a passo.
Primeiro escrevemos o denominador como uma fração com denominador comum x:
1+\frac{1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}.
Agora substituímos na expressão original:
\frac{1+x}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1+x}{\frac{x+1}{x}}.
Aplicando a regra “dividir por fração = multiplicar pelo inverso”:
\frac{1+x}{\frac{x+1}{x}}=(1+x)\cdot\frac{x}{x+1}.
Observação: 1+x e x+1 são a mesma expressão (comutatividade da adição), então podemos cancelar o fator comum x+1, mas isso só é permitido quando esse fator não é zero. Já verificamos em Passo 2 que x\neq -1, então a cancelamento é permitido sob as restrições já anotadas. Cancelando:
(1+x)\cdot\frac{x}{x+1}=x.
Portanto a simplificação algébrica leva a x, desde que respeitemos as restrições x\neq 0 e x\neq -1.

Passo 5

Verificação numérica rápida para ganhar confiança. Escolhamos x=2 (que está permitido). Calculamos a expressão original:
\frac{1+2}{1+\frac{1}{2}}=\frac{3}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{3}{\tfrac{3}{2}}=3\cdot\frac{2}{3}=2,
que bate com o resultado simplificado x=2. Verificamos também que para x=-1 a expressão original fica com denominador zero (indefinida) e para x=0 \frac{1}{x} indefinido, então esses valores realmente não são permitidos.

Resposta

x,\quad \text{com }x\neq 0\text{ e }x\neq -1

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