Efetue as seguintes operações (Mostre os detalhes!)
\frac{4}{5 x} \cdot \frac{10 y}{x^{2}} ;

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a multiplicação entre as duas expressões racionais
\frac{4}{5 x}\quad\text{e}\quad\frac{10 y}{x^{2}}.
Informações dadas: os numeradores são 4 e 10y; os denominadores são 5x e x^{2}. Precisamos multiplicar e simplificar o resultado. Note que x não pode ser zero (pois aparece no denominador).

Passo 2

Regra para multiplicar frações (ou expressões racionais): para quaisquer frações \dfrac{a}{b} e \dfrac{c}{d} temos
\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}.
Isto significa que multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador. Essa operação preserva o valor porque estamos apenas reorganizando multiplicações — nada de divisão por zero, desde que b e d sejam diferentes de zero.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
\frac{4}{5 x}\cdot\frac{10 y}{x^{2}}=\frac{4\cdot 10 y}{5 x\cdot x^{2}}.
Aqui escrevi explicitamente o produto dos numeradores no topo e o produto dos denominadores embaixo.

Passo 4

Agora simplificamos por fatores comuns antes de terminar as multiplicações grandes (isso facilita contas e evita números maiores). Observe dois pontos que podemos simplificar:
  1. O fator numérico 10 no numerador com o 5 no denominador: \dfrac{10}{5}=2.
  2. Os fatores x no denominador somam expoentes ao multiplicar: x\cdot x^{2}=x^{3}.
Aplicando essas simplificações passo a passo:
\frac{4\cdot 10 y}{5 x\cdot x^{2}}=\frac{4\cdot (10/5)\; y}{x^{3}}=\frac{4\cdot 2\; y}{x^{3}}.

Passo 5

Multiplicando os números restantes no numerador:
4\cdot 2 = 8,
portanto a expressão simplificada fica
\frac{8 y}{x^{3}}.
Lembre-se da restrição inicial: x\neq 0, porque tínhamos x no denominador originalmente.

Passo 6

Cheque rápido (opcional, para ter confiança): escolha x=1 e y=2. A expressão original dá
\frac{4}{5\cdot 1}\cdot\frac{10\cdot 2}{1^{2}}=\frac{4}{5}\cdot 20=\frac{80}{5}=16,
e a expressão final dá
\frac{8\cdot 2}{1^{3}}=\frac{16}{1}=16,
concordam, então a simplificação está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{8y}{x^{3}}

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