Efetue as seguintes operações (Mostre os detalhes!)
\frac{2-x}{2+x}+\frac{2+x}{2-x} ;

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular e simplificar a expressão
\frac{2-x}{2+x}+\frac{2+x}{2-x}.
Informações dadas e restrições óbvias:
\text{os denominadores são }2+x\text{ e }2-x,ã
então devemos ter 2+x\neq0 e 2-x\neq0. Portanto
x\neq -2\quad\text{e}\quad x\neq 2.

Passo 2

Estratégia (resumida): colocar as frações sobre o mesmo denominador e somar os numeradores. Primeiro, vou escrever cada fração com o mesmo denominador (2+x)(2-x). Observação útil (identidade de diferença de quadrados):
(2+x)(2-x)=2^{2}-x^{2}=4-x^{2}.
Agora reescrevo cada fração com esse denominador comum:
\frac{2-x}{2+x}=\frac{(2-x)(2-x)}{(2+x)(2-x)}=\frac{(2-x)^{2}}{4-x^{2}},
\frac{2+x}{2-x}=\frac{(2+x)(2+x)}{(2-x)(2+x)}=\frac{(2+x)^{2}}{4-x^{2}}.

Passo 3

Agora somo as duas frações que já têm denominador comum 4-x^{2}:
\frac{(2-x)^{2}}{4-x^{2}}+\frac{(2+x)^{2}}{4-x^{2}}=\frac{(2-x)^{2}+(2+x)^{2}}{4-x^{2}}.
Vou desenvolver os quadrados no numerador passo a passo. Uso as fórmulas (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} e (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}:
(2-x)^{2}=2^{2}-2\cdot2\cdot x + x^{2}=4-4x+x^{2},
(2+x)^{2}=2^{2}+2\cdot2\cdot x + x^{2}=4+4x+x^{2}.

Passo 4

Somando esses dois resultados no numerador:
(4-4x+x^{2})+(4+4x+x^{2})=(4+4)+( -4x+4x)+(x^{2}+x^{2})=8+0+2x^{2}=8+2x^{2}.
Portanto a expressão fica
\frac{8+2x^{2}}{4-x^{2}}.

Passo 5

Fatorando um 2 no numerador para ficar mais enxuto:
\frac{8+2x^{2}}{4-x^{2}}=\frac{2\left(4+x^{2}\right)}{4-x^{2}}.
Aqui não há fator comum entre 4+x^{2} e 4-x^{2} que permita cancelar (note que 4+x^{2} nunca é zero para x real), então essa é a forma já simplificada da fração. Lembre-se das restrições do domínio: x\neq\pm2.

Passo 6

Checagem rápida com um valor numérico para ganhar confiança: tome x=0. A expressão original dá
\frac{2-0}{2+0}+\frac{2+0}{2-0}=1+1=2.
A forma simplificada dá
\frac{2(4+0^{2})}{4-0^{2}}=\frac{2\cdot4}{4}=2,
logo bate com a checagem — ótimo!

Resposta

\displaystyle \frac{2\left(4+x^{2}\right)}{4-x^{2}},\quad x\neq \pm 2

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