Use produtos notáveis para calcular as seguintes expressões:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
Informações dadas: temos duas expressões envolvendo potências de
e produtos de binómios. Queremos simplificar e obter uma forma mais simples (polinomial ou fatorada).
Passo 2
Vamos lembrar dois produtos notáveis importantes que vamos usar. Primeiro, o quadrado da diferença:
onde
e
são símbolos que representam quaisquer expressões. Isso significa que para calcular
elevamos
ao quadrado, subtraímos duas vezes o produto
e somamos o quadrado de
. Exemplo rápido: com
e
,
Passo 3
Aplique o quadrado da diferença à primeira parte com
e
:
Agora simplificamos cada termo:
Portanto
Passo 4
O segundo produto é da forma
. Lembramos o produto notável diferença de quadrados:
onde
e
são quaisquer expressões. Exemplo: com
e
,
Passo 5
No nosso caso tome
e
. Então
Calculando,
logo
Passo 6
Agora substituímos as duas expressões obtidas na expressão original:
Fazemos a subtração termo a termo. Primeiro os
se cancelam:
Depois juntamos os termos em
:
E sobra o
. Portanto a expressão simplificada é
É costume escrever na ordem decrescente de potências como
, que é a mesma coisa.
Passo 7
Podemos também escrever a forma fatorada usando diferença de quadrados:
Como checagem numérica rápida, para
: a expressão original dá
e a nossa simplificação
, bate certinho — ótimo sinal!