Use produtos notáveis para calcular as seguintes expressões:
\left(x^{2}-1\right)^{2}-\left(x^{2}-x\right)\left(x^{2}+x\right) ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\left(x^{2}-1\right)^{2}-\left(x^{2}-x\right)\left(x^{2}+x\right).
Informações dadas: temos duas expressões envolvendo potências de x e produtos de binómios. Queremos simplificar e obter uma forma mais simples (polinomial ou fatorada).

Passo 2

Vamos lembrar dois produtos notáveis importantes que vamos usar. Primeiro, o quadrado da diferença:
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},
onde a e b são símbolos que representam quaisquer expressões. Isso significa que para calcular (a-b)^{2} elevamos a ao quadrado, subtraímos duas vezes o produto ab e somamos o quadrado de b. Exemplo rápido: com a=3 e b=1,
(3-1)^{2}=4 \quad\text{e}\quad 3^{2}-2\cdot3\cdot1+1^{2}=9-6+1=4.

Passo 3

Aplique o quadrado da diferença à primeira parte com a=x^{2} e b=1:
\left(x^{2}-1\right)^{2}=(x^{2})^{2}-2\cdot x^{2}\cdot 1+1^{2}.
Agora simplificamos cada termo:
(x^{2})^{2}=x^{4},\qquad -2\cdot x^{2}\cdot 1=-2x^{2},\qquad 1^{2}=1.
Portanto
\left(x^{2}-1\right)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1.

Passo 4

O segundo produto é da forma (A-B)(A+B). Lembramos o produto notável diferença de quadrados:
(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2},
onde A e B são quaisquer expressões. Exemplo: com A=5 e B=2,
(5-2)(5+2)=3\cdot7=21 \quad\text{e}\quad 5^{2}-2^{2}=25-4=21.

Passo 5

No nosso caso tome A=x^{2} e B=x. Então
\left(x^{2}-x\right)\left(x^{2}+x\right)=(x^{2})^{2}-x^{2}.
Calculando,
(x^{2})^{2}=x^{4},
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\left(x^{2}-x\right)\left(x^{2}+x\right)=x^{4}-x^{2}.

Passo 6

Agora substituímos as duas expressões obtidas na expressão original:
\bigl(x^{4}-2x^{2}+1\bigr)-\bigl(x^{4}-x^{2}\bigr).
Fazemos a subtração termo a termo. Primeiro os x^{4} se cancelam:
x^{4}-x^{4}=0.
Depois juntamos os termos em x^{2}:
-2x^{2}-(-x^{2})=-2x^{2}+x^{2}=-x^{2}.
E sobra o +1. Portanto a expressão simplificada é
-x^{2}+1.
É costume escrever na ordem decrescente de potências como 1-x^{2}, que é a mesma coisa.

Passo 7

Podemos também escrever a forma fatorada usando diferença de quadrados:
1-x^{2}=(1-x)(1+x).
Como checagem numérica rápida, para x=2: a expressão original dá (4-1)^{2}-(4-2)(4+2)=9-12=-3 e a nossa simplificação 1-x^{2}=1-4=-3, bate certinho — ótimo sinal!

Resposta

1-x^{2}

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