Um capacitor cilíndrico é formado por dois cilindros coaxiais de raios
e
, ambos com comprimento
.
(a) Determine a capacitância desse capacitor cilíndrico em termos de
e
. (1,0p)
(b) As placas desse capacitor cilíndrico são mantidas a uma diferença de potencial
por meio de uma bateria, e um material de constante dielétrica
e condutividade
é inserido entre as placas do capacitor. Qual é a resistência do material em termos da capacitância do capacitor? (
)
(a) Determine a capacitância desse capacitor cilíndrico em termos de
(b) As placas desse capacitor cilíndrico são mantidas a uma diferença de potencial
Passo 1
O enunciado dá um capacitor formado por dois cilindros coaxiais, com os seguintes dados:
— raio do cilindro interno;
— raio do cilindro externo;
— comprimento comum dos cilindros;
— permissividade do vácuo.
Perguntas:
(a) Determinar a capacitância em termos de e
.
(b) Com uma diferença de potencial mantida por uma bateria, insere-se entre as placas (entre os cilindros) um material com constante dielétrica
e condutividade
. Determinar a resistência do material em termos da capacitância do capacitor.
Informações relevantes: o material preenche todo o espaço entre e
; o comprimento
é tal que efeitos de borda podem ser desprezados (campo radial com simetria cilíndrica).
Perguntas:
(a) Determinar a capacitância em termos de
(b) Com uma diferença de potencial
Informações relevantes: o material preenche todo o espaço entre
Passo 2
Conceitos úteis (aula rápida e intuitiva):
- Capacitância
define-se como a razão entre a carga numa placa e a diferença de potencial entre as placas:
Aqui é mais conveniente usar a densidade linear de carga
, definida por
. Assim
.
- Para distribuir a carga em cilindros coaxiais com simetria cilíndrica, usamos a Lei de Gauss para obter o campo elétrico
. A Lei de Gauss em forma integral diz que o fluxo do campo através de uma superfície fechada é igual à carga livre envolvida dividido por :
Com simetria cilíndrica, escolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio
(com
) e comprimento
; o campo é radial e tem magnitude que depende só de
.
Passo 3
Aplicando Gauss para encontrar
entre os cilindros (passo-a-passo):
A superfície de Gauss tem área lateral . O fluxo é
. A carga livre encerrada é
. Pela Lei de Gauss,
A superfície de Gauss tem área lateral
Cancelando
,
Explicação do que fizemos:
é a carga por unidade de comprimento;
aparece porque estamos considerando vácuo (antes de inserir dielétrico).
Passo 4
Calcular a diferença de potencial
entre os cilindros a partir do campo:
A diferença de potencial entre o cilindro interno ( ) e o externo (
) é a integral do campo radial (com sinal apropriado). Tomando
(o sinal já fica certo se interpretarmos
como positivo quando o interior tem maior potencial),
A diferença de potencial entre o cilindro interno (
Aqui usei a integral conhecida
. Note que
é positivo porque
.
Passo 5
Obter a capacitância usando
:
Substituindo e o
obtido,
Substituindo
Este é o resultado pedido em (a). Interpretação: a capacitância cresce com o comprimento
e com
, e decresce quando a separação efetiva (a razão
) aumenta.
Passo 6
Agora parte (b): física do material dielétrico com condutividade. Quando inserimos um material com constante dielétrica
entre as placas, a relação entre o campo
e o deslocamento elétrico
é
. A carga livre por unidade de comprimento está relacionada a
por Gauss:
Para simetria cilíndrica, isso dá
, logo
Como
,
Comentário didático: a presença do dielétrico reduz o campo por um fator
para a mesma carga livre.
Passo 7
Calcular a corrente de fuga
através do material, usando a condutividade
:
A lei de Ohm local relaciona densidade de corrente e campo elétrico:
. A corrente total que passa radialmente através de uma superfície cilíndrica de raio
e comprimento
é
A lei de Ohm local relaciona densidade de corrente
Substituindo
encontrado,
Observação importante: o
cancela, mostrando que a corrente é independente da superfície cilíndrica escolhida (como deve ser, em regime estacionário com simetria).
Passo 8
Determinar a resistência efetiva
do material entre os cilindros:
A resistência é definida por . Usamos o
com dielétrico (obtido integrando
com
):
A resistência é definida por
Dividindo,
Aqui cancelei
e
. Esta é a resistência em termos dos parâmetros geométricos e da condutividade.
Passo 9
Expressão de
em termos da capacitância do capacitor:
Da parte (a) com dielétrico preenchendo o espaço entre cilindros, a capacitância é
Da parte (a) com dielétrico preenchendo o espaço entre cilindros, a capacitância é
Isolando
e substituindo em
:
Interpretação final: a resistência entre os cilindros é inversamente proporcional à condutividade
e inversamente proporcional à capacitância
; aumenta com
.
Resposta
(a)
(b)