Um capacitor cilíndrico é formado por dois cilindros coaxiais de raios r_{1} e r_{2}, ambos com comprimento l.
(a) Determine a capacitância desse capacitor cilíndrico em termos de \epsilon_{0}, r_{1}, r_{2} e l. (1,0p)
(b) As placas desse capacitor cilíndrico são mantidas a uma diferença de potencial V por meio de uma bateria, e um material de constante dielétrica \kappa e condutividade \sigma é inserido entre as placas do capacitor. Qual é a resistência do material em termos da capacitância do capacitor? ( 2,0 \mathrm{p} )

Passo 1

O enunciado dá um capacitor formado por dois cilindros coaxiais, com os seguintes dados:
\;r_{1} — raio do cilindro interno; \;r_{2} — raio do cilindro externo; \;l — comprimento comum dos cilindros; \;\epsilon_{0} — permissividade do vácuo.
Perguntas:
(a) Determinar a capacitância em termos de \epsilon_{0}, r_{1}, r_{2} e l.
(b) Com uma diferença de potencial \;V mantida por uma bateria, insere-se entre as placas (entre os cilindros) um material com constante dielétrica \kappa e condutividade \sigma. Determinar a resistência do material em termos da capacitância do capacitor.
Informações relevantes: o material preenche todo o espaço entre r_{1} e r_{2}; o comprimento l é tal que efeitos de borda podem ser desprezados (campo radial com simetria cilíndrica).

Passo 2

Conceitos úteis (aula rápida e intuitiva):
  • Capacitância \;C define-se como a razão entre a carga Q numa placa e a diferença de potencial V entre as placas:
C=\frac{Q}{V}.
Aqui é mais conveniente usar a densidade linear de carga \lambda, definida por \lambda = Q/l. Assim Q=\lambda l.
  • Para distribuir a carga em cilindros coaxiais com simetria cilíndrica, usamos a Lei de Gauss para obter o campo elétrico \mathbf{E}. A Lei de Gauss em forma integral diz que o fluxo do campo através de uma superfície fechada é igual à carga livre envolvida dividido por \epsilon_{0}:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{livre}}}{\epsilon_{0}}.
Com simetria cilíndrica, escolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio r (com r_{1}<r<r_{2}) e comprimento l; o campo é radial e tem magnitude que depende só de r.

Passo 3

Aplicando Gauss para encontrar \mathbf{E} entre os cilindros (passo-a-passo):
A superfície de Gauss tem área lateral A=2\pi r l. O fluxo é E(r)\cdot 2\pi r l. A carga livre encerrada é Q_{\text{enc}}=\lambda l. Pela Lei de Gauss,
E(r)\,2\pi r l=\frac{\lambda l}{\epsilon_{0}}.
Cancelando l,
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\,r}.
Explicação do que fizemos: \lambda é a carga por unidade de comprimento; \epsilon_{0} aparece porque estamos considerando vácuo (antes de inserir dielétrico).

Passo 4

Calcular a diferença de potencial \;V entre os cilindros a partir do campo:
A diferença de potencial entre o cilindro interno ( r_{1}) e o externo ( r_{2}) é a integral do campo radial (com sinal apropriado). Tomando \;V=V(r_{1})-V(r_{2})=\int_{r_{1}}^{r_{2}} E(r)\,dr (o sinal já fica certo se interpretarmos V como positivo quando o interior tem maior potencial),
V=\int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\,r}\,dr =\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{1}{r}\,dr =\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right).
Aqui usei a integral conhecida \int \frac{1}{r}\,dr=\ln r. Note que \ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right) é positivo porque r_{2}>r_{1}.

Passo 5

Obter a capacitância usando C=Q/V:
Substituindo Q=\lambda l e o V obtido,
C=\frac{Q}{V}=\frac{\lambda l}{\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)} =\frac{2\pi\epsilon_{0} l}{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}.
Este é o resultado pedido em (a). Interpretação: a capacitância cresce com o comprimento l e com \epsilon_{0}, e decresce quando a separação efetiva (a razão r_{2}/r_{1}) aumenta.

Passo 6

Agora parte (b): física do material dielétrico com condutividade. Quando inserimos um material com constante dielétrica \kappa entre as placas, a relação entre o campo \mathbf{E} e o deslocamento elétrico \mathbf{D} é \mathbf{D}=\epsilon_{0}\kappa\,\mathbf{E}. A carga livre por unidade de comprimento está relacionada a \mathbf{D} por Gauss:
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre, enc}}=\lambda l.
Para simetria cilíndrica, isso dá D(r)\,2\pi r l=\lambda l, logo
D(r)=\frac{\lambda}{2\pi r}.
Como D=\epsilon_{0}\kappa E,
E(r)=\frac{D(r)}{\epsilon_{0}\kappa}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\kappa\,r}.
Comentário didático: a presença do dielétrico reduz o campo por um fator \kappa para a mesma carga livre.

Passo 7

Calcular a corrente de fuga I através do material, usando a condutividade \sigma:
A lei de Ohm local relaciona densidade de corrente \mathbf{J} e campo elétrico: \mathbf{J}=\sigma\,\mathbf{E}. A corrente total que passa radialmente através de uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento l é
I=J(r)\cdot (\text{área}) = \sigma E(r)\cdot (2\pi r l).á
Substituindo E(r) encontrado,
I=\sigma\cdot\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\kappa\,r}\cdot(2\pi r l) =\sigma\frac{\lambda l}{\epsilon_{0}\kappa}.
Observação importante: o r cancela, mostrando que a corrente é independente da superfície cilíndrica escolhida (como deve ser, em regime estacionário com simetria).

Passo 8

Determinar a resistência efetiva R do material entre os cilindros:
A resistência é definida por R=V/I. Usamos o V com dielétrico (obtido integrando E(r) com \kappa):
V=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\kappa}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right), \qquad I=\sigma\frac{\lambda l}{\epsilon_{0}\kappa}.
Dividindo,
R=\frac{V}{I} =\frac{\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\kappa}\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)} {\sigma\dfrac{\lambda l}{\epsilon_{0}\kappa}} =\frac{1}{2\pi\sigma l}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right).
Aqui cancelei \lambda e \epsilon_{0}\kappa. Esta é a resistência em termos dos parâmetros geométricos e da condutividade.

Passo 9

Expressão de R em termos da capacitância do capacitor:
Da parte (a) com dielétrico preenchendo o espaço entre cilindros, a capacitância é
C=\frac{2\pi\epsilon_{0}\kappa\, l}{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}.
Isolando \ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right) e substituindo em R:
\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)=\frac{2\pi\epsilon_{0}\kappa\, l}{C},
R=\frac{1}{2\pi\sigma l}\cdot\frac{2\pi\epsilon_{0}\kappa\, l}{C} =\frac{\epsilon_{0}\kappa}{\sigma\,C}.
Interpretação final: a resistência entre os cilindros é inversamente proporcional à condutividade \sigma e inversamente proporcional à capacitância C; aumenta com \epsilon_{0}\kappa.

Resposta

(a) \displaystyle C=\frac{2\pi\epsilon_{0}\,l}{\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)}
(b) \displaystyle R=\frac{1}{2\pi\sigma l}\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)=\frac{\epsilon_{0}\kappa}{\sigma\,C}

Exercícios relacionados