Que condições devem ser satisfeitas pela resultante das três forças que atuam sobre o ponto de
\begin{array}{lc} \vec{R}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3}=0 & T_{3 x}+T_{2 x}=T_{1} \\\ & T_{3} \operatorname{sen} 23^{\circ}+T_{2} \operatorname{sen} 11^{\circ}=T_{1} \\\ & T_{3} \cos 23^{\circ}=T_{2} \cos 11^{\circ} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede: “Que condições devem ser satisfeitas pela resultante das três forças que atuam sobre o ponto de” e fornece as relações que devem valer quando a resultante é nula. Dados relevantes extraídos do enunciado (vou declarar explicitamente o que aparece no enunciado):
\vec{R}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3}=0
e as três equações escritas no enunciado:
T_{3x}+T_{2x}=T_{1}
T_{3}\operatorname{sen} 23^{\circ}+T_{2}\operatorname{sen} 11^{\circ}=T_{1}
T_{3}\cos 23^{\circ}=T_{2}\cos 11^{\circ}
Aqui estou considerando que T_{1},T_{2},T_{3} são as intensidades (módulos) das forças \vec{F}_{1},\vec{F}_{2},\vec{F}_{3} e que as medidas angulares 23^{\circ} e 11^{\circ} aparecem no enunciado ligado às direções de \vec{F}_{3} e \vec{F}_{2} respectivamente. No Passo 2 vamos traduzir essas informações em equações de equilíbrio e explicar de onde vêm os senos e cossenos.

Passo 2

Conceito-chave: decomposição vetorial em componentes ortogonais.
Se uma força tem módulo T e faz um ângulo \theta com o eixo x (horizontal), suas componentes cartesianas são, por definição:
T_x = T\cos\theta, \qquad T_y = T\operatorname{sen}\theta.
Explicação didática: imagine o vetor como a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo cateto adjacente ao ângulo \theta é a projeção horizontal (por isso usamos \cos) e o cateto oposto é a projeção vertical (por isso usamos \operatorname{sen}). Essa é a regra básica que usamos sempre que transformamos um vetor em componentes x e y.

Passo 3

Escolha de convenção de sinais (importante para a prova):
Escolhemos eixo x positivo para a direita e eixo y positivo para cima. Considere que \vec{F}_{1} é vertical (apenas componente em y) e que \vec{F}_{2} e \vec{F}_{3} estão inclinadas em relação ao eixo horizontal com ângulos 11^{\circ} e 23^{\circ} respectivamente (essa interpretação é coerente com as expressões dadas com \operatorname{sen} 11^{\circ}, \operatorname{sen} 23^{\circ}, \cos 11^{\circ}, \cos 23^{\circ}). Se a figura do problema mostrar sentidos opostos, a escolha do sinal muda, mas a forma das equações abaixo é a mesma — só invertemos sinais conforme o sentido.

Passo 4

Escrevendo as componentes de cada força segundo a convenção:
  • Para \vec{F}_{1} (vertical): \;T_{1x}=0, \;T_{1y}=\pm T_{1} (o sinal depende do sentido; vou tomar T_{1} apontando para baixo, o que dá T_{1y}=-T_{1}; mais adiante isso explicará o sinal nas equações).
  • Para \vec{F}_{2} (ângulo 11^{\circ} medido a partir do eixo x): \;T_{2x}=T_{2}\cos 11^{\circ}, \;T_{2y}=T_{2}\operatorname{sen} 11^{\circ}.
  • Para \vec{F}_{3} (ângulo 23^{\circ} medido a partir do eixo x, sentido oposto ao de \vec{F}_2 na horizontal conforme a figura implícita): \;T_{3x}=-T_{3}\cos 23^{\circ} (negativo se apontar para a esquerda), \;T_{3y}=T_{3}\operatorname{sen} 23^{\circ}.
Nota sobre sinais: escolhi \vec{F}_{2} com componente horizontal positiva e \vec{F}_{3} com componente horizontal negativa — isso modela a situação comum em que duas tensões inclinadas puxam em direções horizontais opostas.

Passo 5

Agora aplicamos as condições de equilíbrio (resultante nula). O equilíbrio estático num ponto exige:
\sum F_x = 0 \qquad\text{e}\qquad \sum F_y = 0.
Usando as componentes do Passo 4, a soma das componentes x dá:
T_{2x}+T_{3x}+T_{1x}=0
substituindo T_{1x}=0, T_{2x}=T_{2}\cos 11^{\circ}, T_{3x}=-T_{3}\cos 23^{\circ} temos
T_{2}\cos 11^{\circ}-T_{3}\cos 23^{\circ}=0.
Rearranjando:
T_{3}\cos 23^{\circ}=T_{2}\cos 11^{\circ},
que é exatamente a terceira igualdade do enunciado. Interpretação física: as projeções horizontais de \vec{F}_2 e \vec{F}_3 devem se anular (ter mesma magnitude e sentidos opostos).

Passo 6

Agora a soma das componentes y:
T_{1y}+T_{2y}+T_{3y}=0.
Tomando T_{1y}=-T_{1} (se \vec{F}_1 aponta para baixo) e T_{2y}=T_{2}\operatorname{sen} 11^{\circ}, T_{3y}=T_{3}\operatorname{sen} 23^{\circ}, obtemos
-T_{1}+T_{2}\operatorname{sen} 11^{\circ}+T_{3}\operatorname{sen} 23^{\circ}=0.
Rearranjando:
T_{3}\operatorname{sen} 23^{\circ}+T_{2}\operatorname{sen} 11^{\circ}=T_{1},
que é a segunda igualdade do enunciado. Interpretação física: as componentes verticais de \vec{F}_2 e \vec{F}_3 juntas equilibram a força vertical \vec{F}_1.

Passo 7

Sobre a equação \;T_{3x}+T_{2x}=T_{1} que aparece no enunciado: normalmente a partir da decomposição e da soma de componentes teremos as duas equações independentes de equilíbrio que já derivamos:
T_{3}\cos 23^{\circ}=T_{2}\cos 11^{\circ}
e
T_{3}\operatorname{sen} 23^{\circ}+T_{2}\operatorname{sen} 11^{\circ}=T_{1}.
A expressão \;T_{3x}+T_{2x}=T_{1} só faz sentido se estiver usando outra convenção de sinais ou se T_{1} for a componente horizontal de alguma força (o que não é o caso na interpretação que levou às igualdades com seno e cosseno). Portanto a forma correta e consistente com a decomposição é usar as duas equações de equilíbrio x e y escritas acima. Se no enunciado apareceu a linha T_{3x}+T_{2x}=T_{1}, ela pode ser uma forma compacta (ou uma notação intermédia) — mas a versão explícita em termos de senos e cossenos está nos passos anteriores.

Passo 8

Resumo didático (como aplicar isso na prova, passo a passo):
  1. Escolha eixo x e y e um sentido positivo.
  2. Decomponha cada força nas componentes x e y usando \cos para a componente horizontal (adjacente) e \operatorname{sen} para a vertical (oposta).
  3. Escreva \sum F_x=0 e \sum F_y=0.
  4. Resolva o sistema formado; em problemas com três forças que se anulam tipicamente você consegue eliminar um módulo usando a igualdade das projeções horizontais e depois determinar relações entre os demais pelas projeções verticais (ou vice‑versa).
    Isso é exatamente o que fizemos para obter as igualdades com \cos e \operatorname{sen}.

Resposta

\vec{R}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\vec{F}_{3}=0\n
\;T_{3}\operatorname{sen} 23^{\circ}+T_{2}\operatorname{sen} 11^{\circ}=T_{1}\n
\;T_{3}\cos 23^{\circ}=T_{2}\cos 11^{\circ}

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