Que condições devem ser satisfeitas pela resultante das três forças que atuam sobre o ponto de
Passo 1
O enunciado pede: “Que condições devem ser satisfeitas pela resultante das três forças que atuam sobre o ponto de” e fornece as relações que devem valer quando a resultante é nula. Dados relevantes extraídos do enunciado (vou declarar explicitamente o que aparece no enunciado):
e as três equações escritas no enunciado:
Aqui estou considerando que
são as intensidades (módulos) das forças
e que as medidas angulares
e
aparecem no enunciado ligado às direções de
e
respectivamente. No Passo 2 vamos traduzir essas informações em equações de equilíbrio e explicar de onde vêm os senos e cossenos.
Passo 2
Conceito-chave: decomposição vetorial em componentes ortogonais.
Se uma força tem módulo e faz um ângulo
com o eixo
(horizontal), suas componentes cartesianas são, por definição:
Se uma força tem módulo
Explicação didática: imagine o vetor como a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo cateto adjacente ao ângulo
é a projeção horizontal (por isso usamos
) e o cateto oposto é a projeção vertical (por isso usamos
). Essa é a regra básica que usamos sempre que transformamos um vetor em componentes x e y.
Passo 3
Escolha de convenção de sinais (importante para a prova):
Escolhemos eixo positivo para a direita e eixo
positivo para cima. Considere que
é vertical (apenas componente em
) e que
e
estão inclinadas em relação ao eixo horizontal com ângulos
e
respectivamente (essa interpretação é coerente com as expressões dadas com
,
,
,
). Se a figura do problema mostrar sentidos opostos, a escolha do sinal muda, mas a forma das equações abaixo é a mesma — só invertemos sinais conforme o sentido.
Escolhemos eixo
Passo 4
Escrevendo as componentes de cada força segundo a convenção:
- Para
(vertical): , (o sinal depende do sentido; vou tomar apontando para baixo, o que dá ; mais adiante isso explicará o sinal nas equações). - Para
(ângulo medido a partir do eixo ): , . - Para
(ângulo medido a partir do eixo , sentido oposto ao de na horizontal conforme a figura implícita): (negativo se apontar para a esquerda), .
Nota sobre sinais: escolhi
com componente horizontal positiva e
com componente horizontal negativa — isso modela a situação comum em que duas tensões inclinadas puxam em direções horizontais opostas.
Passo 5
Agora aplicamos as condições de equilíbrio (resultante nula). O equilíbrio estático num ponto exige:
Usando as componentes do Passo 4, a soma das componentes
dá:
substituindo
,
,
temos
Rearranjando:
que é exatamente a terceira igualdade do enunciado. Interpretação física: as projeções horizontais de
e
devem se anular (ter mesma magnitude e sentidos opostos).
Passo 6
Agora a soma das componentes
:
Tomando
(se
aponta para baixo) e
,
, obtemos
Rearranjando:
que é a segunda igualdade do enunciado. Interpretação física: as componentes verticais de
e
juntas equilibram a força vertical
.
Passo 7
Sobre a equação
que aparece no enunciado: normalmente a partir da decomposição e da soma de componentes teremos as duas equações independentes de equilíbrio que já derivamos:
e
A expressão
só faz sentido se estiver usando outra convenção de sinais ou se
for a componente horizontal de alguma força (o que não é o caso na interpretação que levou às igualdades com seno e cosseno). Portanto a forma correta e consistente com a decomposição é usar as duas equações de equilíbrio
e
escritas acima. Se no enunciado apareceu a linha
, ela pode ser uma forma compacta (ou uma notação intermédia) — mas a versão explícita em termos de senos e cossenos está nos passos anteriores.
Passo 8
Resumo didático (como aplicar isso na prova, passo a passo):
- Escolha eixo
e e um sentido positivo. - Decomponha cada força nas componentes
e usando para a componente horizontal (adjacente) e para a vertical (oposta). - Escreva
e . - Resolva o sistema formado; em problemas com três forças que se anulam tipicamente você consegue eliminar um módulo usando a igualdade das projeções horizontais e depois determinar relações entre os demais pelas projeções verticais (ou vice‑versa).
Isso é exatamente o que fizemos para obter as igualdades come .