Um eixo de acionamento de motor elétrico que tem um torque de carga variável gira a uma velocidade média de 1750 rpm. Os pulsos de energia para (positivo) e a partir do (negativo) sistema orientado são dadas na tabela a seguir. Considere a velocidade angular do eixo \omega= 800 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. O diâmetro do eixo é de 2 pol. Projete um volante adequado para este sistema capaz de proporcionar um coeficiente de flutuação de 0,05 e um fator de segurança contra excesso de velocidade de pelo menos 5.0 volante deve ser um disco circular com raio interno de 2 pol de espessura constante feito de um aço de resistência ao escoamento de 70 \mathrm{kpsi}, \gamma= 0,32 \mathrm{lb} / \mathrm{in} 3, \mathrm{v}=0,28. O Coeficiente de segurança de projeto contra escoamento deve ser de 2,5.
Ângulos do eixo Energia delta
0^{\circ} a 75^{\circ} -1040 \mathrm{~N}-\mathrm{m}
75^{\circ} a 195^{\circ} +2260 \mathrm{~N}-\mathrm{m}
195^{\circ} a 330^{\circ} -2950 \mathrm{~N}-\mathrm{m}
330^{\circ} a 360^{\circ} +1740 \mathrm{~N}-\mathrm{m}

Passo 1

O enunciado pede projetar um volante (disco circular de raio interno a=2 pol e espessura t constante) para armazenar energia de flutuação gerada pelos pulsos de torque. A velocidade de trabalho é \omega=800,rad/s, o diâmetro interno é 4 pol ( a=2 pol), o material tem resistência ao escoamento \sigma_y=70,kpsi, densidade \gamma=0,32,lb/in³, \nu=0,28. Queremos:
– coeficiente de flutuação c_f=0,05,
– fator de segurança contra escoamento \displaystyle N_s=2{,}5,
– fator de segurança contra excesso de velocidade (burst speed/ω) de pelo menos 5.

Passo 2

Calcular a energia de flutuação \Delta E a partir da curva acumulada de energia. Somando os deltas até achar o máximo e o mínimo acumulados:
\displaystyle E_{\max}=+1220 J e \displaystyle E_{\min}=-1730 J
Logo
\Delta E \;=\;E_{\max}-E_{\min} \;=\;1220-(-1730) \;=\;2950\text{ J}.

Passo 3

Para um volante de momento de inércia J, a energia cinética giratória média é
E_k=\tfrac12\,J\,\omega^2.
O coeficiente de flutuação é definido por
c_f=\frac{\Delta E}{E_k} \quad\Longrightarrow\quad J=\frac{2\,\Delta E}{c_f\,\omega^2}.
Substituindo \Delta E=2950 J, c_f=0,05, \omega=800 rad/s:
J =\frac{2\cdot2950}{0.05\cdot800^2} \approx0{,}1844\;\mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 4

Para um disco oco de densidade \rho (massa/volume), espessura t e raios interno a e externo b, o momento de inércia é
J =\tfrac12\,\rho\,\pi\,t\,(b^4-a^4).

Passo 5

O maior esforço de tração circumferencial (hoop stress) ocorre no raio interno r=a. Para um disco girando à velocidade \omega, a fórmula clássica (Shigley) dá
\sigma_\theta(a) =\frac{\rho\,\omega^2}{8}\bigl[(5+\nu)\,b^2+(1+\nu)\,a^2\bigr].
Aqui usamos densidade de massa \rho_m=\gamma/g\approx8858,kg/m³ (convertendo \gamma=0.32 lb/in³) e \nu=0.28.

Passo 6

Temos duas exigências de segurança:
  1. à velocidade de trabalho \omega, \sigma_\theta(a)\le\sigma_y/N_s com N_s=2{,}5.
  2. a velocidade de ruptura (burst speed) deve satisfazer \omega_{\rm burst}/\omega\ge5.
    Mas da condição \sigma_\theta(a)\propto\omega^2, garantir \omega_{\rm burst}\ge5\,\omega implica
\sigma_\theta(a)\le\frac{\sigma_y}{5^2} =\frac{\sigma_y}{25},
que é mais restritivo que \sigma_y/2{,}5. Logo adotamos
\sigma_\theta(a)\le\sigma_y/25.

Passo 7

Substituindo na fórmula de \sigma_\theta(a), escrevemos o limite em SI (Pa) e resolvemos para b. Com \sigma_y=70,kpsi \approx4{,}826\times10^8 Pa, temos
\frac{\rho_m\,\omega^2}{8}\bigl[(5+\nu)b^2+(1+\nu)a^2\bigr]\;\le\;\frac{\sigma_y}{25}.
Numericamente:
8858\cdot800^2/8\;\bigl[5.28\,b^2+1.28\,(0{,}0508)^2\bigr]\le1{,}9304\times10^7,
resultando em
b\;\le\;0{,}06735\text{ m},
isto é,
b_{\max}\approx0{,}06735\text{ m}=2{,}65\text{ pol}.

Passo 8

Para atender ao momento de inércia exigido J=0{,}1844,kg·m², usamos
J=\tfrac12\,\rho_m\pi\,t\,(b^4-a^4) \;\Longrightarrow\; t=\frac{2\,J}{\rho_m\pi\,(b^4-a^4)}.
Com a=2 pol (0,0508 m), b=2,65 pol (0,06735 m) e \rho_m=8858 kg/m³, obtemos
t\approx0{,}951\text{ m}\approx37{,}5\text{ pol}.

Resposta

Raio externo b\approx2{,}65 pol, espessura t\approx37{,}5 pol.

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