Um eixo de aço ( S_{y}=350 \mathrm{MPa} ) de 23 mm de diâmetro transmite uma potência de valor 3,69 \mathrm{~kW} a 100 rpm . Selecione as dimensões de uma chaveta com um fator de segurança de 1,1 . Considere que a chaveta é do mesmo material que o eixo.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (tirei os números diretamente do enunciado):
  • Tensão de escoamento do aço: \,S_{y}=350\\ \mathrm{MPa}.
  • Diâmetro do eixo: \,d=23\\ \mathrm{mm}.
  • Potência transmitida: \,P=3{,}69\\ \mathrm{kW}=3690\\ \mathrm{W}.
  • Velocidade de rotação: \,N=100\\ \mathrm{rpm}.
  • Fator de segurança pedido: \,n=1{,}1.
  • A chaveta é do mesmo material que o eixo (mesmo S_y).
O que se pede: selecionar as dimensões da chaveta (largura b, altura h e comprimento L) de modo que ela suporte o torque transmitido com o fator de segurança indicado.

Passo 2

Calcular o torque transmitido T a partir da potência e da rotação. Fórmula da potência em regime de rotação:
P = \dfrac{2\pi N}{60}\,T.
Isolando T:
T=\dfrac{60\,P}{2\pi N}.
Substituindo os valores:
T=\dfrac{60\cdot 3690}{2\pi\cdot 100}=\dfrac{221400}{200\pi}\approx 352{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 3

Converter torque em força tangencial F aplicada à chaveta (na periferia do eixo). A relação entre torque T, força F e raio r=d/2 é
T = F\cdot r = F\cdot \dfrac{d}{2}\quad\Rightarrow\quad F=\dfrac{2T}{d}.
Usando T\approx 352{,}5\\ \mathrm{N\cdot m} e d=23\\ \mathrm{mm}=0{,}023\\ \mathrm{m}:
F=\dfrac{2\cdot 352{,}5}{0{,}023}\approx 30652{,}2\\ \mathrm{N}.
(Nota: trabalho a seguir usa unidades \mathrm{N} e \mathrm{mm} para tensões em \mathrm{MPa}= \mathrm{N/mm^2}.)

Passo 4

Explicar os modos de falha e as fórmulas usadas (aula curta e prática).
  • Modos de falha relevantes para chaveta paralela padrão:
    1. Cisalhamento da chaveta ao longo da seção que corta a chaveta (área de cisalhamento A_s).
    2. Deformação/fluência por esmagamento (bearing) entre chaveta e talhe do cubo (área de contato A_b).
  • Geometria típica de chaveta retangular:
    • largura da chaveta: b (mm),
    • altura total da chaveta: h (mm). Normalmente metade da altura fica no talhe do eixo e metade no talhe do cubo; portanto a altura de contato para bearing com o cubo é t=\dfrac{h}{2} (mm).
    • comprimento da chaveta ao longo do eixo: L (mm).
  • Áreas:
    • Área de cisalhamento (para cisalhamento simples): A_s = b\cdot L.
    • Área de contato (bearing) entre chaveta e cubo: A_b = t\cdot L = \dfrac{h}{2}\cdot L.
  • Tensões solicitantes:
    • Tensão de cisalhamento na chaveta: \tau = \dfrac{F}{A_s}=\dfrac{F}{bL}.
    • Tensão de esmagamento (bearing) no contato chaveta–cubo: \sigma_{b}=\dfrac{F}{A_b}=\dfrac{F}{(h/2)\,L}=\dfrac{2F}{hL}.
  • Critério de dimensionamento (uso prático adotado aqui):
    • Para materiais dúcteis costuma-se usar como tensão admissível ao cisalhamento a partir da teoria de von Mises: \tau_{\text{adm}}=\dfrac{S_y}{\sqrt{3}\,n}.Aqui S_y é a tensão de escoamento (MPa) e n o fator de segurança pedido.
    • Para o bearing (compressão local) usa-se como tensão admissível: \sigma_{b,\text{adm}}=\dfrac{S_y}{n}.
    Essas fórmulas significam que dividimos a resistência do material pelo fator de segurança; na prática é um procedimento usual em problemas de projeto de chavetas.

Passo 5

Calcular as tensões admissíveis numéricas:
\tau_{\text{adm}}=\dfrac{S_y}{\sqrt{3}\,n}=\dfrac{350}{1{,}73205\cdot 1{,}1}\\ \mathrm{MPa}\approx 183{,}68\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{b,\text{adm}}=\dfrac{S_y}{n}=\dfrac{350}{1{,}1}\\ \mathrm{MPa}\approx 318{,}18\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Escolha prática de largura e altura da chaveta (tabela padrão).
  • Para eixo com diâmetro d=23\\ \mathrm{mm} adota-se, segundo tabelas padrão de chavetas métricas, a chaveta de seção 8\times7\\ \mathrm{mm} (ou seja b=8\\ \mathrm{mm} e h=7\\ \mathrm{mm}). Essa é uma escolha normal para eixos na faixa 22\text{–}30\\ \mathrm{mm}.
  • Assim t=h/2=3{,}5\\ \mathrm{mm}.
Agora determinamos o comprimento L mínimo que satisfaça ambos os requisitos (cisalhamento e bearing).

Passo 7

Cálculo do comprimento mínimo pela verificação de cisalhamento:
L_{\text{cisalh}}=\dfrac{F}{b\,\tau_{\text{adm}}}.
Substituindo F=30652{,}2\\ \mathrm{N}, b=8\\ \mathrm{mm}, \tau_{\text{adm}}=183{,}68\\ \mathrm{N/mm^2}:
L_{\text{cisalh}}=\dfrac{30652{,}2}{8\cdot 183{,}68}\\ \mathrm{mm}\approx 20{,}87\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Cálculo do comprimento mínimo pela verificação de bearing:
L_{\text{bear}}=\dfrac{2F}{h\,\sigma_{b,\text{adm}}}.
Substituindo h=7\\ \mathrm{mm} e \sigma_{b,\text{adm}}=318{,}18\\ \mathrm{N/mm^2}:
L_{\text{bear}}=\dfrac{2\cdot 30652{,}2}{7\cdot 318{,}18}\\ \mathrm{mm} =\dfrac{61304{,}4}{2227{,}26}\\ \mathrm{mm}\approx 27{,}51\\ \mathrm{mm}.

Passo 9

Concluir o comprimento necessário: deve atender às duas condições, logo
L \ge \max\{L_{\text{cisalh}},\,L_{\text{bear}}\}=\max\{20{,}87,\;27{,}51\} = 27{,}51\\ \mathrm{mm}.
Adotando um comprimento padrão comercialmente disponível e prático, escolhe-se L=30\\ \mathrm{mm} (próximo valor comercial e ligeiramente conservador).

Passo 10

Verificação final com b=8\\ \mathrm{mm}, h=7\\ \mathrm{mm}, L=30\\ \mathrm{mm}.
  • Cisalhamento real:
\tau_{\text{real}}=\dfrac{F}{bL}=\dfrac{30652{,}2}{8\cdot 30}\\ \mathrm{N/mm^2}=\dfrac{30652{,}2}{240}\approx 127{,}72\\ \mathrm{MPa}.
Comparando com \tau_{\text{adm}}=183{,}68\\ \mathrm{MPa} vemos margem de segurança suficiente.
  • Bearing real:
\sigma_{b,\text{real}}=\dfrac{2F}{hL}=\dfrac{2\cdot 30652{,}2}{7\cdot 30}=\dfrac{61304{,}4}{210}\approx 291{,}92\\ \mathrm{MPa}.
Comparando com \sigma_{b,\text{adm}}=318{,}18\\ \mathrm{MPa} vemos também margem de segurança suficiente.
  • Segurança real em relação ao escoamento (por exemplo para bearing):
\text{SF}_{\text{bearing,real}}=\dfrac{S_y}{\sigma_{b,\text{real}}}=\dfrac{350}{291{,}92}\approx 1{,}20>1{,}1,
e para cisalhamento (usando \tau_y=S_y/\sqrt{3}):
\text{SF}_{\text{shear,real}}=\dfrac{S_y/\sqrt{3}}{\tau_{\text{real}}}=\dfrac{350/1{,}732}{127{,}72}\approx 1{,}58>1{,}1.
Portanto a chaveta escolhida satisfaz (com folga) o fator de segurança exigido.

Resposta

b = 8 mm, h = 7 mm, L = 30 mm.

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