Problema 16.3 (adaptado). Um perfil estrutual de aço, WT205x30, é utilizado para um pilar com 6,5 \mathrm{~m} de comprimento. Assuma conexões rotuladas em cada extremidade do pilar. Determine: a) O ínice de esbeltez ( \lambda=L / r ); b) A carga crítica de Euler (utilize \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa} para o aço) e; c) A tensão axial no pilar quando a carga crítica de Euler é aplicada.
Designation Area \boldsymbol{A} Depth d Web thickness \boldsymbol{t}_{\mathbf{w}} Flange width \boldsymbol{b}_{\boldsymbol{f}} Flange thickness t_{f} Centroid \boldsymbol{y} \boldsymbol{I}_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{S}_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{r}_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{I}_{\boldsymbol{y}} S_{y} \boldsymbol{r}_{\mathbf{y}}
\mathbf{m m}^{\mathbf{2}} mm mm mm mm mm 10^{6} mm { }^{4} 10^{3} \mathrm{mm}^{3} mm 10^{6} \mathrm{mm}^{4} 10^{\mathbf{3}} \mathrm{mm}^{3} mm
WT205 × 42.5 5410 209 10.9 181 18.2 49.3 20.3 127 61.2 8.99 99.3 40.6
205 \times 37.5 4750 207 9.65 180 16.0 48.0 17.6 111 61.0 7.74 86.2 40.4
205 \times 30 3800 203 7.75 178 12.8 46.0 13.8 87.7 60.2 5.99 67.5 39.6
205 \times 23.05 2940 202 6.99 140 11.2 51.3 11.4 76.0 62.2 2.58 36.7 29.7
Fonte: Philpot (2012)

Passo 1

O enunciado fornece um perfil WT205×30 usado como pilar de comprimento L=6,5\\ \text{m} com conexões rotuladas em ambas as extremidades. O que se pede:
  • (a) o índice de esbeltez \lambda = L / r;
  • (b) a carga crítica de Euler;
  • (c) a tensão axial no pilar quando essa carga crítica é aplicada.
Informações relevantes extraídas da tabela (peguei estes dados da tabela fornecida):
  • Área: A=3800\\ \text{mm}^2.
  • Momento de inércia em torno do eixo forte: I_x = 13{,}8\times 10^{6}\\ \text{mm}^4.
  • Momento de inércia em torno do eixo fraco: I_y = 5{,}99\times 10^{6}\\ \text{mm}^4.
  • Raios de giração: r_x = 60{,}2\\ \text{mm} e r_y = 39{,}6\\ \text{mm}.
  • Módulo de elasticidade do aço: E = 200\\ \text{GPa} = 200{,}000\\ \text{N}/\text{mm}^2.
  • Condição de contorno: conexões rotuladas em ambas extremidades \Rightarrow coeficiente de comprimento efetivo K=1.

Passo 2

Definição e cálculo do índice de esbeltez.
  • Conceito: o índice de esbeltez \lambda mede quão “esbelto” é o pilar e é definido por
\lambda=\frac{L}{r},
onde L é o comprimento efetivo do pilar e r é o raio de giração correspondente ao eixo de flambagem considerado. O raio de giração relaciona-se com o momento de inércia e a área por r=\sqrt{\dfrac{I}{A}}, e já foi fornecido na tabela.
  • Preparação de unidades: converter o comprimento para milímetros (para ficar consistente com r em mm e I em mm^4):
L=6{,}5\\ \text{m}=6500\\ \text{mm}.
  • Cálculo para os dois eixos (é útil calcular ambos para ver qual eixo governa a flambagem):
\lambda_x=\frac{L}{r_x}=\frac{6500}{60{,}2}\approx 107{,}98\approx 108{,}0.
\lambda_y=\frac{L}{r_y}=\frac{6500}{39{,}6}\approx 164{,}14\approx 164{,}1.
Interpretação rápida: quanto maior \lambda, mais esbelto o pilar na direção considerada e mais provável é a flambagem por essa direção. Aqui \lambda_y>\lambda_x, então a flambagem será governada pelo eixo fraco (eixo y).

Passo 3

Fórmula de Euler e escolha do eixo crítico.
  • Fórmula de Euler (coluna elástica, regime linear, sem imperfeições grandes):
P_{cr}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2},
onde:
  • P_{cr} é a carga crítica de flambagem (N);
  • E é o módulo de Young (N/mm^2);
  • I é o momento de inércia em relação ao eixo de flambagem (mm^4);
  • K é o coeficiente de comprimento efetivo (adiabático para as condições de contorno);
  • L é o comprimento real (mm).
  • Coeficiente: para extremidades rotuladas em ambas as pontas tem-se K=1, logo K L = 6500\\ \text{mm}.
  • Escolha do I: a carga crítica será menor para o eixo com menor I (e menor r); portanto o eixo governante é o eixo y (momento I_y menor). Ainda assim calculo para comparação os dois eixos.
Cálculo detalhado para o eixo fraco ( y):
  • Valores a usar: E=200{,}000\\ \text{N}/\text{mm}^2,\qquad I_y=5{,}99\times 10^{6}\\ \text{mm}^4,\qquad K L=6500\\ \text{mm}.
  • Numerador: \pi^2 E I_y \approx 9{,}8696 \times 200{,}000 \times 5{,}99\times 10^{6} =1{,}18237808\times 10^{13}.
  • Denominador: (K L)^2 = 6500^2 = 42{,}250{,}000 = 4{,}225\times 10^{7}.
  • Dividindo: P_{cr,y}=\frac{1{,}18237808\times 10^{13}}{4{,}225\times 10^{7}}\approx 279{,}787\\ \text{N}\approx 279{,}8\\ \text{kN}.
Cálculo de verificação para o eixo forte ( x) (somente para comparar e confirmar que é maior):
  • Com I_x=13{,}8\times 10^{6}\\ \text{mm}^4 obtém-se aproximadamente P_{cr,x}\approx 644{,}9\\ \text{kN}, portanto maior que P_{cr,y}. Logo o caso crítico é realmente o eixo y.

Passo 4

Cálculo da tensão axial quando P_{cr} é aplicada.
  • A tensão média axial é \sigma=\dfrac{P}{A}. Usando P=P_{cr,y} e A=3800\\ \text{mm}^2:
\sigma=\frac{279{,}787\\ \text{N}}{3800\\ \text{mm}^2}\approx 73{,}63\\ \text{N}/\text{mm}^2.
  • Conversão de unidades: 1\\ \text{N}/\text{mm}^2 = 1\\ \text{MPa}. Logo \sigma\approx 73{,}6\\ \text{MPa}.

Resposta

(a) \lambda_x=108{,}0,\quad \lambda_y=164{,}1 (o eixo y governa a flambagem)
(b) P_{cr}=279{,}8\\ \text{kN} (valor crítico para flambagem no eixo y)
(c) \sigma=\dfrac{P_{cr}}{A}\approx 73{,}6\\ \text{MPa}

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