Problema 10.3 (adaptado). Uma madeira de
e 2 m de comprimento é utilizada como pilar com extremidades articuladas. Se
e
, determine a máxima carga axial que pode ser aplicada com um fator de segurança de 2,0.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (listados claramente):
- Pede: determinar a máxima carga axial que pode ser aplicada ao pilar com um fator de segurança
. - Dados do pilar:
- Seção retangular:
. - Comprimento:
. - Extremidades articuladas (pinos) em ambos os lados.
- Módulo de elasticidade:
. - Tensão admissível do material:
. - Fator de segurança:
.
- Seção retangular:
Observação importante (para decidir o que controla a carga): a carga máxima permitida será a menor entre
- a carga que provocaria esmagamento pela tensão direta (força dividida pela área) e
- a carga crítica de flambagem (Euler) dividida pelo fator de segurança.
Iremos calcular ambos e tomar a menor carga segura.
Passo 2
Área da seção transversal e conversões de unidades (faça isto com calma na prova):
- A seção é
. A área em é
- Converter para metros quadrados (porque
está em Pa = N/m ):
(Explicação rápida:
.)
Passo 3
Carga pela resistência à compressão direta (esmagamento): fórmula e cálculo.
- Se a peça estivesse limitada pela tensão admissível sem flambagem, a carga correspondente seria
onde
é a tensão admissível e
é a área.
- Substituindo os valores (converter
para Pa):
então
- Aplicando o fator de segurança
, a carga permitida por esmagamento é
(Interpretação: se não houvesse flambagem, com esse material e seção poderíamos aguentar 48,0 kN considerando o FS.)
Passo 4
Momento de inércia da seção retangular — como e por que escolher o menor I.
- Para flambagem, a carga crítica depende do momento de inércia
da seção em relação ao eixo de flambagem. O pilar flamba ao redor do eixo que tiver o menor momento de inércia (é a forma mais “flexível”). - Para um retângulo com lados
e , o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e é paralelo ao lado é
Aqui temos dois possíveis eixos (dependendo de qual dimensão é tomada como
):
- Se
e :
- Se
e :
- Calculando (faça isso com lápis e papel na prova; aqui eu mostro os passos):
-
. -
. Dividindo por 12:
- Converter para
: , logo
- (O
será bem maior; não precisamos do valor exato para decidir que o controla.)
-
- Conclusão: o eixo que dá flambagem crítica é o que usa
.
Passo 5
Fórmula de Euler para carga crítica de flambagem e explicação das variáveis.
- Para colunas esbeltas com extremidades articuladas (pinos em ambas as extremidades) a carga crítica de Euler é
onde:
-
é o módulo de elasticidade (Pa), -
é o menor momento de inércia da seção (m ), -
é o comprimento do pilar (m), -
é o fator de comprimento efetivo: para extremidades articuladas . - Substituindo os valores (lembre que
, , , ):
- Calcule passo a passo:
- Primeiro
. - Depois
, então . - Denominador
. - Logo
- Primeiro
Passo 6
Aplicar o fator de segurança à carga crítica e comparar com a resistência direta.
- Dividindo
pelo fator de segurança:
- Lembrando do passo 3, a carga permitida pela resistência direta com FS foi
. - A carga máxima real segura é a menor destas duas (pois se flambar antes de atingir a tensão admissível, o pilar falhará por flambagem):
Passo 7
Interpretação final e lupa didática (rápida):
- O pilar é relativamente esbelto para essas dimensões e material; portanto a flambagem é o modo de falha governante.
- Em provas, procedimento padrão: (1) calcule resistência direta, (2) calcule carga crítica de Euler (usar menor momento de inércia), (3) aplique FS a ambos (se a FS deve ser aplicado assim) e (4) escolha o menor resultado.
- Dica prática: sempre compare ordens de grandeza: aqui
e resistência direta , então não surpreende que a flambagem controle.