Problema 10.3 (adaptado). Uma madeira de 40 \mathrm{~mm} \times 80 \mathrm{~mm} e 2 m de comprimento é utilizada como pilar com extremidades articuladas. Se \mathrm{E}=10 \mathrm{GPa} e \sigma_{a d m}=30 \mathrm{MPa}, determine a máxima carga axial que pode ser aplicada com um fator de segurança de 2,0.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (listados claramente):
  • Pede: determinar a máxima carga axial que pode ser aplicada ao pilar com um fator de segurança \text{FS}=2{,}0.
  • Dados do pilar:
    • Seção retangular: 40\\ \text{mm}\times80\\ \text{mm}.
    • Comprimento: L=2{,}0\\ \text{m}.
    • Extremidades articuladas (pinos) em ambos os lados.
    • Módulo de elasticidade: E=10\\ \text{GPa}.
    • Tensão admissível do material: \sigma_{adm}=30\\ \text{MPa}.
    • Fator de segurança: \text{FS}=2{,}0.
Observação importante (para decidir o que controla a carga): a carga máxima permitida será a menor entre
  • a carga que provocaria esmagamento pela tensão direta (força dividida pela área) e
  • a carga crítica de flambagem (Euler) dividida pelo fator de segurança.
    Iremos calcular ambos e tomar a menor carga segura.

Passo 2

Área da seção transversal e conversões de unidades (faça isto com calma na prova):
  • A seção é 40\\ \text{mm}\times80\\ \text{mm}. A área em \text{mm}^2 é
A = 40\times80 = 3200\\ \text{mm}^2.
  • Converter para metros quadrados (porque E está em Pa = N/m ^2):
3200\\ \text{mm}^2 = 3200\times10^{-6}\\ \text{m}^2 = 3{,}2\times10^{-3}\\ \text{m}^2.
(Explicação rápida: 1\\ \text{mm}^2=10^{-6}\\ \text{m}^2.)

Passo 3

Carga pela resistência à compressão direta (esmagamento): fórmula e cálculo.
  • Se a peça estivesse limitada pela tensão admissível sem flambagem, a carga correspondente seria
P_{res}=\sigma_{adm}\,A,
onde \sigma_{adm} é a tensão admissível e A é a área.
  • Substituindo os valores (converter \sigma_{adm} para Pa):
\sigma_{adm}=30\\ \text{MPa}=30\times10^{6}\\ \text{Pa}, \qquad A=3{,}2\times10^{-3}\\ \text{m}^2,
então
P_{res}=30\times10^{6}\times3{,}2\times10^{-3}=96\times10^{3}\\ \text{N}=96{,}0\\ \text{kN}.
  • Aplicando o fator de segurança \text{FS}=2{,}0, a carga permitida por esmagamento é
P_{perm,res}=\frac{P_{res}}{\text{FS}}=\frac{96{,}0\\ \text{kN}}{2{,}0}=48{,}0\\ \text{kN}.
(Interpretação: se não houvesse flambagem, com esse material e seção poderíamos aguentar 48,0 kN considerando o FS.)

Passo 4

Momento de inércia da seção retangular — como e por que escolher o menor I.
  • Para flambagem, a carga crítica depende do momento de inércia I da seção em relação ao eixo de flambagem. O pilar flamba ao redor do eixo que tiver o menor momento de inércia (é a forma mais “flexível”).
  • Para um retângulo com lados b e h, o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e é paralelo ao lado b é
I=\frac{b\,h^{3}}{12}.
Aqui temos dois possíveis eixos (dependendo de qual dimensão é tomada como h):
  • Se h=40\\ \text{mm} e b=80\\ \text{mm}:
I_{pequeno}=\frac{80\cdot40^{3}}{12}\\ \text{mm}^4.
  • Se h=80\\ \text{mm} e b=40\\ \text{mm}:
I_{grande}=\frac{40\cdot80^{3}}{12}\\ \text{mm}^4.
  • Calculando (faça isso com lápis e papel na prova; aqui eu mostro os passos):
    • 40^{3}=64{,}000.
    • 80\times64{,}000=5{,}120{,}000. Dividindo por 12:
    I_{pequeno}=426{,}666{,}6667\\ \text{mm}^4 \approx 4{,}26667\times10^{5}\\ \text{mm}^4.
    • Converter para \text{m}^4: 1\\ \text{mm}^4=10^{-12}\\ \text{m}^4, logo
    I_{pequeno}=4{,}26667\times10^{5}\times10^{-12}=4{,}26667\times10^{-7}\\ \text{m}^4.
    • (O I_{grande} será bem maior; não precisamos do valor exato para decidir que o I_{pequeno} controla.)
  • Conclusão: o eixo que dá flambagem crítica é o que usa I_{pequeno}=4{,}26667\times10^{-7}\\ \text{m}^4.

Passo 5

Fórmula de Euler para carga crítica de flambagem e explicação das variáveis.
  • Para colunas esbeltas com extremidades articuladas (pinos em ambas as extremidades) a carga crítica de Euler é
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}},
onde:
  • E é o módulo de elasticidade (Pa),
  • I é o menor momento de inércia da seção (m ^4),
  • L é o comprimento do pilar (m),
  • K é o fator de comprimento efetivo: para extremidades articuladas K=1{,}0.
  • Substituindo os valores (lembre que E=10\\ \text{GPa}=1{,}0\times10^{10}\\ \text{Pa}, I=4{,}26667\times10^{-7}\\ \text{m}^4, L=2{,}0\\ \text{m}, K=1):
P_{cr}=\frac{\pi^{2}\times(1{,}0\times10^{10})\times(4{,}26667\times10^{-7})}{(1{,}0\times2{,}0)^{2}}.
  • Calcule passo a passo:
    • Primeiro E I = 1{,}0\times10^{10}\times4{,}26667\times10^{-7}=4{,}26667\times10^{3}.
    • Depois \pi^{2}\approx9{,}8696, então \pi^{2} E I \approx 9{,}8696\times4{,}26667\times10^{3}\approx4{,}21099\times10^{4}.
    • Denominador (K L)^{2}=(2{,}0)^{2}=4{,}0.
    • Logo
    P_{cr}\approx\frac{4{,}21099\times10^{4}}{4{,}0}\approx1{,}05275\times10^{4}\\ \text{N}=10{,}53\\ \text{kN}.

Passo 6

Aplicar o fator de segurança à carga crítica e comparar com a resistência direta.
  • Dividindo P_{cr} pelo fator de segurança:
P_{perm,cr}=\frac{P_{cr}}{\text{FS}}=\frac{10{,}53\\ \text{kN}}{2{,}0}=5{,}265\\ \text{kN}.
  • Lembrando do passo 3, a carga permitida pela resistência direta com FS foi P_{perm,res}=48{,}0\\ \text{kN}.
  • A carga máxima real segura é a menor destas duas (pois se flambar antes de atingir a tensão admissível, o pilar falhará por flambagem):
P_{\max}=\min\bigl(P_{perm,cr},\;P_{perm,res}\bigr)=\min(5{,}265\\ \text{kN},\;48{,}0\\ \text{kN})=5{,}265\\ \text{kN}.

Passo 7

Interpretação final e lupa didática (rápida):
  • O pilar é relativamente esbelto para essas dimensões e material; portanto a flambagem é o modo de falha governante.
  • Em provas, procedimento padrão: (1) calcule resistência direta, (2) calcule carga crítica de Euler (usar menor momento de inércia), (3) aplique FS a ambos (se a FS deve ser aplicado assim) e (4) escolha o menor resultado.
  • Dica prática: sempre compare ordens de grandeza: aqui P_{cr}\sim10\\ \text{kN} e resistência direta \sim96\\ \text{kN}, então não surpreende que a flambagem controle.

Resposta

P_{\max}=5{,}26\\ \text{kN}

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