Se a rotação da questão anterior varia de 50 a 150 rpm , sem modificar a potência, calcule as novas dimensões da chaveta. Considere S_{us}=400 \mathrm{MPa}, S_{n}=150 \mathrm{MPa} e mesmo fator de segurança.

Passo 1

O enunciado que você mandou diz que a rotação varia de 50 a 150\\ \mathrm{rpm}, a potência não muda, e fornece S_{us}=400\\ \mathrm{MPa} e S_{n}=150\\ \mathrm{MPa} e pede as novas dimensões da chaveta mantendo o mesmo fator de segurança.
Informações que estão faltando e que são necessárias para calcular numericamente as dimensões:
  • Potência P (ou o torque original T_1) — sem isso não se obtém o torque a transmitir.
  • Diâmetro do eixo d (ou raio r=d/2) — necessário para relacionar torque com força tangencial.
  • Dimensões originais da chaveta usadas na questão anterior (largura b, altura h, comprimento L_1 ou pelo menos L_1).
  • Valor numérico do fator de segurança N usado anteriormente (só dizer “mesmo fator” não dá o valor).
  • Tipo de chaveta (chaveta retangular embutida padrão) e hipótese sobre a altura efetiva de contato no cubo (normalmente metade da altura da chaveta fica no cubo).
Sem esses dados não é possível obter valores numéricos finais. Abaixo eu ensino passo a passo o método que você deve aplicar assim que tiver os dados faltantes, e dou as fórmulas prontas e a relação de escala entre as rotações.

Passo 2

Relação potência — torque — rotação (fórmula chave).
A potência P em regime rotacional está ligada ao torque T e à velocidade angular \omega por
P = T\,\omega.
A velocidade angular em função da rotação n em rpm é
\omega=\frac{2\pi n}{60}.
Portanto, isolando T,
T=\frac{P}{\omega}=\frac{P}{2\pi n/60}=\frac{60\,P}{2\pi n}=\frac{30\,P}{\pi n}.
Importante: mantendo P constante, T é inversamente proporcional a n. Logo, ao mudar de n_1 para n_2,
T_2 = T_1\frac{n_1}{n_2}.

Passo 3

Força tangencial na chaveta a partir do torque. Supondo eixo de raio r=d/2, a força tangencial transmitida é
F=\frac{T}{r}.
Essa força F é a que vai causar cisalhamento na chaveta e esforço de contato (esmagamento/pressão) entre chaveta e cubo.

Passo 4

Equações de dimensionamento da chaveta (chaveta retangular embutida). Considerando chaveta com largura b, altura total h e comprimento L:
  • Área de cisalhamento efetiva (para um plano de cisalhamento simples) é A_{s}=bL. A tensão de cisalhamento é
\tau=\frac{F}{bL}=\frac{T}{r\,bL}.
  • Área de contato para esmagamento (bearing) normalmente considera a altura efetiva de contato no cubo como t=\tfrac{h}{2} (metade da altura da chaveta fica no cubo). A tensão de contato (compressão) fica
\sigma_c=\frac{F}{tL}=\frac{F}{(h/2)L}=\frac{2F}{hL}=\frac{2T}{r\,hL}.
Essas duas tensões devem ficar abaixo dos valores admissíveis correspondentes, que se obtêm dividindo as resistências pelo fator de segurança N.

Passo 5

Critério de projeto com fator de segurança. Seja N o mesmo fator de segurança usado antes. Definir as tensões admissíveis:
\tau_{adm}=\frac{S_{us}}{N},\qquad \sigma_{adm}=\frac{S_{n}}{N},
desde que S_{us} e S_{n} correspondam, respectivamente, à resistência ao cisalhamento e à resistência ao esmagamento/normal — confirme isso no enunciado original. A partir das inequações \tau\le\tau_{adm} e \sigma_c\le\sigma_{adm} obtêm-se duas fórmulas para L:
  • a partir do cisalhamento:
L\ge \frac{T}{r\,b\,\tau_{adm}}.
  • a partir do esmagamento:
L\ge \frac{2T}{r\,h\,\sigma_{adm}}.
O comprimento mínimo requerido é o maior dos dois:
L_{\min}=\max\!\left(\frac{T}{r b \tau_{adm}},\\ \frac{2T}{r h \sigma_{adm}}\right).

Passo 6

Como atualizar as dimensões quando a rotação muda de n_1 para n_2 mantendo P e N constantes.
Como \;T\propto 1/n, todas as expressões acima são lineares em T. Assim, para razões de escala:
\frac{L_2}{L_1}=\frac{T_2}{T_1}=\frac{n_1}{n_2}.
Conclusão prática: se apenas o comprimento L estava sendo ajustado (largura b e altura h padronizadas), então o novo comprimento necessário é
L_2 = L_1\frac{n_1}{n_2}.
Exemplo de uso imediato: para n_1=50\\ \mathrm{rpm} e n_2=150\\ \mathrm{rpm} tem-se
\frac{n_1}{n_2}=\frac{50}{150}=\frac{1}{3},
portanto L_2 = \tfrac{1}{3}L_1. Ou seja, o torque cai para 1/3 e o comprimento exigido (proporcional ao torque) também cai para 1/3, se as demais dimensões ( b,h ) e o fator de segurança não mudarem.

Passo 7

Se quiser também alterar b ou h em vez de L: como as equações de L são inversamente proporcionais a b (no cisalhamento) e a h (no esmagamento via h), você pode escolher combinar dimensões. Por exemplo, para manter L fixo e reduzir T (aumento de n), pode-se recalcular as combinações admissíveis:
b_{\min}=\frac{T}{r\,L\,\tau_{adm}},\qquad h_{\min}=\frac{2T}{r\,L\,\sigma_{adm}}.
Mas a forma mais prática em prova costuma ser manter b e h padronizadas (tabelas normais) e ajustar L conforme a fórmula do passo 5.

Passo 8

O que eu preciso que você me diga (ou que você recupere da questão anterior) para eu calcular numericamente as novas dimensões agora:
  • Potência P ou o torque original T_1.
  • Diâmetro do eixo d (ou raio r).
  • Dimensões originais da chaveta (ou ao menos L_1, b, h).
  • Valor numérico do fator de segurança N usado anteriormente.
  • Confirmação do que representam S_{us} e S_n (se S_{us} é resistência ao cisalhamento e S_n resistência de esmagamento/normal).
Com esses dados eu aplico as fórmulas do Passo 5 e entrego os valores numéricos finais passo a passo — prometo ser bem mão na massa e explicar cada conta como em prova.

Resposta

Não é possível calcular numericamente as novas dimensões: faltam potência P (ou torque T_1), diâmetro do eixo d, dimensões originais da chaveta ( b,h,L_1) e o valor numérico do fator de segurança N. Em relação à relação entre rotações, com n_1=50\\ \mathrm{rpm} e n_2=150\\ \mathrm{rpm} e potência constante, o torque cai em razão n_1/n_2=1/3; portanto qualquer dimensão linear diretamente proporcional ao torque (por exemplo o comprimento L se b e h forem mantidos) escala na mesma razão: L_2=L_1\cdot\dfrac{n_1}{n_2}=L_1/3.

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