Um eixo de aço com comprimento de 1,2 \mathrm{~m}, diâmetro de 40 mm e módulo de cisalhamento \mathrm{G}=80 \mathrm{GPa}, é submetido a um torque de 200 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}.
O ângulo de torção (em radianos) é aproximadamente:
A) 0,0004
B) 0,0012
C) 0,0024
D) 0,0048
E) 0,012

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue.
Dados:
\begin{aligned} &\text{comprimento: } L = 1,2\\ \mathrm{m},\\\ &\text{diâmetro: } d = 40\\ \mathrm{mm},\\\ &\text{módulo de cisalhamento: } G = 80\\ \mathrm{GPa},\\\ &\text{torque aplicado: } T = 200\\ \mathrm{N\cdot m}. \end{aligned}âó
Pergunta:
\text{Qual é o ângulo de torção (em radianos) aproximadamente?}éâçã
Opções fornecidas: \,0,0004,\;0,0012,\;0,0024,\;0,0048,\;0,012\,.

Passo 2

Qual fórmula usamos e o que cada símbolo significa.
A relação entre torque aplicado e ângulo de torção em um eixo circular rígido é
\varphi = \frac{T\,L}{J\,G},
onde:
\begin{aligned} &\varphi &&\text{é o ângulo de torção (em radianos),}\\\ &T &&\text{é o torque aplicado (em N·m),}\\\ &L &&\text{é o comprimento do eixo (em m),}\\\ &J &&\text{é o momento polar de inércia da seção transversal (em m}^4\text{),}\\\ &G &&\text{é o módulo de cisalhamento do material (em Pa).} \end{aligned}éâçãééééçãéó
Para um eixo circular maciço (sólido) com diâmetro d, o momento polar J é
J = \frac{\pi d^{4}}{32}.
Essa fórmula vem da integração da contribuição de cada anel elemental da seção circular ao momento de inércia polar — no exame você não precisa derivar, basta memorizar/aplicar esta expressão para seção circular maciça.

Passo 3

Convertemos unidades e calculamos J.
Convertendo o diâmetro para metros:
d = 40\\ \mathrm{mm} = 0,04\\ \mathrm{m}.
Calculamos d^{4}:
d^{4} = (0,04)^{4} = 2{,}56\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^{4}.
Agora calculamos J:
J = \frac{\pi d^{4}}{32} = \frac{\pi \cdot 2{,}56\times 10^{-6}}{32}.
Fazendo a conta:
\pi\cdot 2{,}56\times 10^{-6} \approx 8{,}042\times 10^{-6},
J \approx \frac{8{,}042\times 10^{-6}}{32} \approx 2{,}512\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}^{4}.

Passo 4

Calculamos o produto J\,G (denominador da expressão de \varphi).
Primeiro escrevemos G em pascal:
G = 80\\ \mathrm{GPa} = 80\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Então
J\,G \approx 2{,}512\times 10^{-7}\times 80\times 10^{9}.
Agrupando potências de 10 e coeficientes:
J\,G \approx (2{,}512\times 80)\times 10^{-7+9} = 200{,}96\times 10^{2} = 2,0096\times 10^{4}.
Ou, mais diretamente,
J\,G \approx 20096\\ \text{(unidade consistentemente N·m por radiano)}.

Passo 5

Calculamos o ângulo de torção \varphi.
Numerador:
T\,L = 200\\ \mathrm{N\cdot m}\times 1{,}2\\ \mathrm{m} = 240\\ \mathrm{N\cdot m}.
Aplicando a fórmula:
\varphi = \frac{T\,L}{J\,G} \approx \frac{240}{20096} \approx 0{,}01194\\ \text{rad}.
Arredondando para dois algarismos significativos (e comparando com as opções), temos aproximadamente
\varphi \approx 0{,}012\\ \text{rad}.
Pequena verificação de consistência: a unidade final é adimensional, adequada para radianos, e o valor está na mesma ordem de grandeza da opção (E).

Passo 6

Recapitulando de forma motivadora: você aplicou a fórmula básica \varphi = T L/(J G), calculou J para um eixo circular maciço usando J=\pi d^{4}/32, cuidou das unidades (mm → m, GPa → Pa) e obteve o valor final que bate com uma das alternativas. Mandou bem por seguir passo a passo — continua assim!

Resposta

E) 0,012

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