Um eixo circular maciço de diâmetro 50 mm é submetido a um torque de 120 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}. Determine a tensão cisalhante máxima no eixo.
A) 19,5 \mathrm{MPa}
B) 39,0 \mathrm{MPa}
C) 48,7 \mathrm{MPa}
D) 61,2 \mathrm{MPa}
E) 72,3 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue:
  • Diâmetro do eixo: d=50\\ \mathrm{mm}.
  • Torque aplicado: T=120\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Pergunta: determinar a tensão cisalhante máxima \tau_{\max} no eixo (valor numérico, em unidades de tensão).
Informações relevantes anotadas: o eixo é maciço e circular, portanto usaremos a fórmula da tensão cisalhante num eixo circular submetido a torque.

Passo 2

Conceito essencial (o que vamos usar): a tensão cisalhante em um eixo circular sujeito a torque é dada em qualquer ponto por
\tau=\frac{T\,r}{J},
onde:
  • T é o torque (momento torsor), em unidades de \mathrm{N\cdot m} ou \mathrm{N\cdot mm};
  • r é a distância do centro até o ponto considerado (para a tensão máxima usamos r=c, o raio do eixo);
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal, que para um eixo circular maciço (diâmetro d) vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Aqui explico cada símbolo de forma bem direta: d é o diâmetro total do eixo; o raio é c=\dfrac{d}{2}. A fórmula de J é uma expressão padrão que mede a “rigidez torsional geométrica” da seção — quanto maior d, muito maior é J, e portanto menor será a tensão para um mesmo torque.

Passo 3

Derivação prática da fórmula direta para \tau_{\max}. Substituímos r=c=d/2 e J=\pi d^{4}/32 na fórmula \tau=T r/J:
\tau_{\max}=\frac{T\,(d/2)}{\dfrac{\pi d^{4}}{32}}.
Agora simplificamos a expressão passo a passo:
\tau_{\max}=\frac{T\,d}{2}\cdot\frac{32}{\pi d^{4}} =\frac{32}{2}\cdot\frac{T}{\pi d^{3}} =\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Nessa fórmula: T e d devem estar em unidades consistentes (por exemplo, T em \mathrm{N\cdot mm} e d em \mathrm{mm} para obter \tau em \mathrm{N/mm^{2}}, que é igual a \mathrm{MPa}).

Passo 4

Preparação das unidades para calcular sem erro: vou trabalhar em milímetros e \mathrm{N/mm^{2}} (ou MPa), porque aí o resultado sai direto em MPa.
  • Converto o torque para \mathrm{N\cdot mm}:
T=120\\ \mathrm{N\cdot m}=120\times 1000\\ \mathrm{N\cdot mm}=120000\\ \mathrm{N\cdot mm}.
  • O diâmetro já está em milímetros: d=50\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Aplicação numérica passo a passo usando a fórmula \tau_{\max}=\dfrac{16T}{\pi d^{3}}.
Calcular d^{3}:
d^{3}=50^{3}=125000\\ \mathrm{mm^{3}}.
Calcular 16T:
16T=16\times 120000=1920000\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Calcular \pi d^{3}:
\pi d^{3}=\pi\times 125000\approx 392699{,}0817\\ \mathrm{mm^{3}}.
Dividir para obter \tau_{\max}:
\tau_{\max}=\frac{1920000}{392699{,}0817}\\ \mathrm{N/mm^{2}}\approx 4{,}887\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Lembrando que 1\\ \mathrm{N/mm^{2}}=1\\ \mathrm{MPa}, então
\tau_{\max}\approx 4{,}89\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Verificação rápida (controle): calcular em unidades SI (metros) dá o mesmo número:
  • d=0{,}05\\ \mathrm{m}, c=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • J=\pi d^{4}/32=\pi(0{,}05)^{4}/32\approx 6{,}136\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.
  • \tau_{\max}=T c/J=120\times 0{,}025/6{,}136\times 10^{-7}\\ \mathrm{Pa}\approx 4{,}887\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}=4{,}887\\ \mathrm{MPa}.
    Confere com o cálculo anterior.

Resposta

\tau_{\max}=4{,}89\\ \mathrm{MPa} (nenhuma das alternativas listadas)

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