Explique por que a tensão de cisalhamento em um eixo sujeito à torção varia linearmente
com o raio e qual é a consequência prática desse comportamento na escolha do material e geometria de um eixo de transmissão.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) explicar por que a tensão de cisalhamento varia linearmente com o raio em um eixo submetido à torção; (2) dizer a consequência prática desse comportamento na escolha do material e da geometria do eixo de transmissão.
Informações implícitas que vamos usar (fornecidas pelo enunciado): o eixo está submetido a um torque aplicado T; consideramos seções transversais circulares (caso clássico); assumimos comportamento linear-elástico e pequenas deformações (pequenas rotações/ângulos).

Passo 2

Definindo variáveis e hipóteses básicas (essenciais para a derivação):
  • T = torque aplicado ao eixo (momento de torção).
  • r = coordenada radial dentro da seção transversal (distância ao eixo); o raio externo será denotado por c.
  • \varphi(x) = ângulo de torção da seção em função da posição axial x.
  • \dfrac{d\varphi}{dx} = taxa de variação do ângulo de torção por unidade de comprimento (torção por unidade de comprimento).
  • \gamma = deformação de cisalhamento (adiabática local) relacionada ao cisalhamento angular.
  • G = módulo de cisalhamento do material (constante que relaciona tensão e deformação de cisalhamento via Lei de Hooke para cisalhamento).
  • J = momento polar de inércia da seção (também chamado de momento de inércia polar), definido por \displaystyle J=\int_A r^2 \, dA, onde A é a área da seção transversal.
    Hipóteses: seções transversais permanecem planas (sem deformação de membrana complicada) e se a seção é circular não ocorre warping que invalidaria a forma simples da solução.

Passo 3

Relacionando deslocamento angular e deformação de cisalhamento (intuição física):
Pense numa pequena fatia do eixo entre x e x+dx. A seção em x gira um ângulo \varphi(x) e a seção em x+dx gira \varphi(x+dx). Um ponto localizado a distância radial \;r\; do eixo descreve um arco tangencial. A diferença de deslocamento tangencial entre as duas seções gera uma deformação de cisalhamento aproximadamente igual a essa diferença dividida por dx. Para pequenos ângulos podemos aproximar o deslocamento tangencial como r\varphi. Assim a deformação de cisalhamento vale aproximadamente:
\gamma \approx \frac{\text{diferença do deslocamento tangencial}}{dx} = \frac{r\bigl(\varphi(x+dx)-\varphi(x)\bigr)}{dx} \approx r\frac{d\varphi}{dx}.ç
Explicando em linguagem simples: quanto mais longe do eixo ( r maior), maior é o deslocamento tangencial para a mesma rotação, logo maior a deformação de cisalhamento.

Passo 4

Ligando deformação à tensão (Lei de Hooke para cisalhamento):
Na região elástica linear do material existe uma relação linear entre tensão de cisalhamento \tau e deformação de cisalhamento \gamma:
\tau = G\,\gamma.
Substituindo a expressão de \gamma do passo anterior:
\tau(r) = G\left(r\frac{d\varphi}{dx}\right) = G\,r\,\frac{d\varphi}{dx}.
Isso já mostra que, para uma dada taxa de torção \dfrac{d\varphi}{dx}, a tensão \tau cresce proporcionalmente a r — ou seja, é linear em r.

Passo 5

Relacionando o torque aplicado T com a distribuição de tensões (equilíbrio internal):
O torque interno resultante de uma distribuição de tensões de cisalhamento numa seção é dado pela integral das forças de cisalhamento multiplicadas pela sua alavanca radial:
T=\int_A r\,\tau(r)\,dA.
Substitua \tau(r)=G\,r\,\dfrac{d\varphi}{dx} nessa integral:
T = \int_A r\left(G\,r\,\frac{d\varphi}{dx}\right)dA = G\frac{d\varphi}{dx}\int_A r^2\,dA.
Reconhecemos a integral como o momento polar de inércia J. Portanto:
T = G\frac{d\varphi}{dx}\,J.
Dessa equação podemos isolar \dfrac{d\varphi}{dx}:
\frac{d\varphi}{dx} = \frac{T}{GJ}.

Passo 6

Obtenção da fórmula clássica e cancelamento do G:
Pegando a expressão de \dfrac{d\varphi}{dx} e substituindo na fórmula da tensão do passo 4, obtemos:
\tau(r) = G\,r\left(\frac{T}{GJ}\right) = \frac{T\,r}{J}.
Note que o módulo de cisalhamento G cancelou: a tensão de cisalhamento em função do raio depende do torque T, do raio local r e do momento polar J, e é diretamente proporcional a r. Daí a afirmação: a tensão varia linearmente com o raio. Esta é a expressão padrão utilizada em projetos de eixos circulares.

Passo 7

Interpretação física e valor máximo da tensão:
Como \tau(r)=\dfrac{T\,r}{J} é proporcional a r, a tensão é zero no eixo ( r=0) e cresce em direção à superfície externa. O valor máximo ocorre na superfície externa ( r=c):
\tau_{\max}=\tau\text{(c)}=\frac{T\,c}{J}.
Portanto, para resistir a um dado torque T, o ponto crítico a controlar é a tensão na borda externa da seção.

Passo 8

Fórmulas práticas para J e consequências geométricas (números simples que valem ouro em prova):
  • Para um eixo circular maciço de raio c:
J_{\text{maciço}}=\frac{\pi c^4}{2}=\frac{\pi d^4}{32}\quad\text{(onde \(d=2c\))}.ç
  • Para um eixo tubular com raio externo c e interno a:
J_{\text{tubo}}=\frac{\pi}{2}\left(c^4-a^4\right)=\frac{\pi}{32}\left(d_o^4-d_i^4\right).
Consequências imediatas:
  • Se você dobrar o raio externo c de um eixo maciço, o momento polar J aumenta por um fator 2^4=16, e a tensão máxima \tau_{\max}=\dfrac{2T}{\pi c^3} (para maciço) diminuirá por um fator 8 (pois \tau_{\max}\propto 1/c^3 para sólido). Isso mostra que aumentar o diâmetro é extremamente eficaz para reduzir tensões de cisalhamento.
  • Por outro lado, remover material perto do eixo (fazer um furo central — eixo tubular) pouco prejudica a resistência à torção se a maior parte do material permanecer perto do raio externo. Por isso, eixos ocos são muito eficientes em termos de razão resistência/peso.

Passo 9

Consequências práticas na escolha de material e geometria (resumindo para projeto e prova):
  • Geometria: concentre material afastado do centro (maior c) porque J cresce com c^4; eixos tubulares são preferidos quando se quer reduzir peso mantendo resistência ao torque.
  • Material: a tensão \tau não depende de G (ela depende de T,J,r), então escolher um material com maior módulo G não reduz \tau — mas aumenta a rigidez à torção (ou seja, reduz o ângulo de torção), pois
\frac{d\varphi}{dx}=\frac{T}{GJ}.
Logo:
  • Para controlar deformação angular (rigidez), escolha material com G grande e/ou aumente J.
  • Para controlar ruptura ou escoamento por cisalhamento, escolha material com maior resistência ao cisalhamento (maior \tau_{\text{admissível}}í) e dimensione c e J para garantir \tau_{\max}\leq \tau_{\text{admissível}}/\text{FS}í (onde FS = fator de segurança).
  • Trade-off prático: eixos leves e resistentes usam geometria tubular com material suficientemente resistente; eixos que não podem torcer muito (aplicações com precisão angular) usam materiais com G alto e/ou maior J.

Passo 10

Limitações e observações finais úteis para prova:
  • A derivação e a fórmula \tau(r)=\dfrac{T\,r}{J} valem estritamente para seções circulares e para regime elástico linear (Lei de Hooke) sob a hipótese de não haver warping significativo (caso tratado pela teoria de Saint-Venant). Para seções não-circulares a distribuição de tensões é diferente e há estados de deformação mais complexos.
  • Sempre que projetar, verifique unidade e use fator de segurança; lembre-se de que \tau_{\max} ocorre na superfície externa.

Resposta

\tau(r)=\dfrac{T\,r}{J}, ou seja, a tensão de cisalhamento cresce linearmente com o raio r.
Consequência prática: a máxima tensão ocorre na superfície externa ( \tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J}), então para aumentar resistência ao torque convém colocar material longe do eixo (aumentar c ou usar eixo tubular) e escolher material com resistência ao cisalhamento adequada; para reduzir torção angular escolha material com G maior ou aumente J.

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