Explique por que a tensão de cisalhamento em um eixo sujeito à torção varia linearmente
com o raio e qual é a consequência prática desse comportamento na escolha do material e geometria de um eixo de transmissão.
com o raio e qual é a consequência prática desse comportamento na escolha do material e geometria de um eixo de transmissão.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) explicar por que a tensão de cisalhamento varia linearmente com o raio em um eixo submetido à torção; (2) dizer a consequência prática desse comportamento na escolha do material e da geometria do eixo de transmissão.
Informações implícitas que vamos usar (fornecidas pelo enunciado): o eixo está submetido a um torque aplicado ; consideramos seções transversais circulares (caso clássico); assumimos comportamento linear-elástico e pequenas deformações (pequenas rotações/ângulos).
Informações implícitas que vamos usar (fornecidas pelo enunciado): o eixo está submetido a um torque aplicado
Passo 2
Definindo variáveis e hipóteses básicas (essenciais para a derivação):
-
= torque aplicado ao eixo (momento de torção). -
= coordenada radial dentro da seção transversal (distância ao eixo); o raio externo será denotado por . -
= ângulo de torção da seção em função da posição axial . -
= taxa de variação do ângulo de torção por unidade de comprimento (torção por unidade de comprimento). -
= deformação de cisalhamento (adiabática local) relacionada ao cisalhamento angular. -
= módulo de cisalhamento do material (constante que relaciona tensão e deformação de cisalhamento via Lei de Hooke para cisalhamento). -
= momento polar de inércia da seção (também chamado de momento de inércia polar), definido por , onde é a área da seção transversal.
Hipóteses: seções transversais permanecem planas (sem deformação de membrana complicada) e se a seção é circular não ocorre warping que invalidaria a forma simples da solução.
Passo 3
Relacionando deslocamento angular e deformação de cisalhamento (intuição física):
Pense numa pequena fatia do eixo entre e
. A seção em
gira um ângulo
e a seção em
gira
. Um ponto localizado a distância radial
do eixo descreve um arco tangencial. A diferença de deslocamento tangencial entre as duas seções gera uma deformação de cisalhamento aproximadamente igual a essa diferença dividida por
. Para pequenos ângulos podemos aproximar o deslocamento tangencial como
. Assim a deformação de cisalhamento vale aproximadamente:
Pense numa pequena fatia do eixo entre
Explicando em linguagem simples: quanto mais longe do eixo (
maior), maior é o deslocamento tangencial para a mesma rotação, logo maior a deformação de cisalhamento.
Passo 4
Ligando deformação à tensão (Lei de Hooke para cisalhamento):
Na região elástica linear do material existe uma relação linear entre tensão de cisalhamento e deformação de cisalhamento
:
Na região elástica linear do material existe uma relação linear entre tensão de cisalhamento
Substituindo a expressão de
do passo anterior:
Isso já mostra que, para uma dada taxa de torção
, a tensão
cresce proporcionalmente a
— ou seja, é linear em
.
Passo 5
Relacionando o torque aplicado
com a distribuição de tensões (equilíbrio internal):
O torque interno resultante de uma distribuição de tensões de cisalhamento numa seção é dado pela integral das forças de cisalhamento multiplicadas pela sua alavanca radial:
O torque interno resultante de uma distribuição de tensões de cisalhamento numa seção é dado pela integral das forças de cisalhamento multiplicadas pela sua alavanca radial:
Substitua
nessa integral:
Reconhecemos a integral como o momento polar de inércia
. Portanto:
Dessa equação podemos isolar
:
Passo 6
Obtenção da fórmula clássica e cancelamento do
:
Pegando a expressão de e substituindo na fórmula da tensão do passo 4, obtemos:
Pegando a expressão de
Note que o módulo de cisalhamento
cancelou: a tensão de cisalhamento em função do raio depende do torque
, do raio local
e do momento polar
, e é diretamente proporcional a
. Daí a afirmação: a tensão varia linearmente com o raio. Esta é a expressão padrão utilizada em projetos de eixos circulares.
Passo 7
Interpretação física e valor máximo da tensão:
Como é proporcional a
, a tensão é zero no eixo (
) e cresce em direção à superfície externa. O valor máximo ocorre na superfície externa (
):
Como
Portanto, para resistir a um dado torque
, o ponto crítico a controlar é a tensão na borda externa da seção.
Passo 8
Fórmulas práticas para
e consequências geométricas (números simples que valem ouro em prova):
- Para um eixo circular maciço de raio
:
- Para um eixo tubular com raio externo
e interno :
Consequências imediatas:
- Se você dobrar o raio externo
de um eixo maciço, o momento polar aumenta por um fator , e a tensão máxima (para maciço) diminuirá por um fator (pois para sólido). Isso mostra que aumentar o diâmetro é extremamente eficaz para reduzir tensões de cisalhamento. - Por outro lado, remover material perto do eixo (fazer um furo central — eixo tubular) pouco prejudica a resistência à torção se a maior parte do material permanecer perto do raio externo. Por isso, eixos ocos são muito eficientes em termos de razão resistência/peso.
Passo 9
Consequências práticas na escolha de material e geometria (resumindo para projeto e prova):
- Geometria: concentre material afastado do centro (maior
) porque cresce com ; eixos tubulares são preferidos quando se quer reduzir peso mantendo resistência ao torque. - Material: a tensão
não depende de (ela depende de ), então escolher um material com maior módulo não reduz — mas aumenta a rigidez à torção (ou seja, reduz o ângulo de torção), pois
Logo:
- Para controlar deformação angular (rigidez), escolha material com
grande e/ou aumente . - Para controlar ruptura ou escoamento por cisalhamento, escolha material com maior resistência ao cisalhamento (maior
) e dimensione e para garantir (onde FS = fator de segurança). - Trade-off prático: eixos leves e resistentes usam geometria tubular com material suficientemente resistente; eixos que não podem torcer muito (aplicações com precisão angular) usam materiais com
alto e/ou maior .
Passo 10
Limitações e observações finais úteis para prova:
- A derivação e a fórmula
valem estritamente para seções circulares e para regime elástico linear (Lei de Hooke) sob a hipótese de não haver warping significativo (caso tratado pela teoria de Saint-Venant). Para seções não-circulares a distribuição de tensões é diferente e há estados de deformação mais complexos. - Sempre que projetar, verifique unidade e use fator de segurança; lembre-se de que
ocorre na superfície externa.
Resposta
Consequência prática: a máxima tensão ocorre na superfície externa (