Um eixo de aço está submetido a um estado de tensão em uma seção crítica, com tensões principais \sigma 1 =200 \mathrm{MPa}, \sigma 2=100 \mathrm{MPa} e \sigma 3=0. O limite de escoamento do aço é 250 MPa . Verifique se o eixo atingirá o escoamento segundo os critérios de Tensão Cisalhante Máxima (Tresca) e Energia de Distorção (von Mises) e calcule o fator de segurança para cada critério.

Passo 1

O enunciado dá as tensões principais na seção crítica e o limite de escoamento do aço. Precisamos:
  • Verificar se ocorre escoamento segundo o critério de Tensão Cisalhante Máxima (Tresca).
  • Verificar se ocorre escoamento segundo o critério de Energia de Distorção (von Mises).
  • Calcular o fator de segurança para cada critério.
Informações dadas:
  • \sigma_1 = 200\\ \mathrm{MPa}
  • \sigma_2 = 100\\ \mathrm{MPa}
  • \sigma_3 = 0\\ \mathrm{MPa}
  • Limite de escoamento S_y = 250\\ \mathrm{MPa}
O que se pede:
  • Determinar, para cada critério (Tresca e von Mises), se o estado de tensão provoca escoamento.
  • Calcular o fator de segurança N para cada critério.

Passo 2

Critério de Tresca (Tensão Cisalhante Máxima) — explicação e fórmula:
  • A ideia física: o material escoa quando a máxima tensão de cisalhamento alcança o valor de cisalhamento de escoamento do material.
  • Em termos das tensões principais \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3, a máxima diferença entre duas tensões principais controla o critério.
  • A forma prática usada para comparação é definir uma “tensão equivalente” de Tresca como
\sigma_{\text{T}} = \max\bigl(|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|\bigr).
  • O critério de escoamento: ocorre escoamento se \sigma_{\text{T}}\ge S_y.
  • O fator de segurança (definição usada aqui) é
N_{\text{T}}=\frac{S_y}{\sigma_{\text{T}}}.
Aqui N_{\text{T}} diz quantas vezes o carregamento equivalente caberia dentro do limite de escoamento.

Passo 3

Aplicando Tresca aos dados (contando cada diferença explicitamente):
  • Calcular as diferenças:
\sigma_1-\sigma_2 = 200-100 = 100\\ \mathrm{MPa}
\sigma_2-\sigma_3 = 100-0 = 100\\ \mathrm{MPa}
\sigma_1-\sigma_3 = 200-0 = 200\\ \mathrm{MPa}
  • Logo
\sigma_{\text{T}} = \max(100,\;100,\;200)=200\\ \mathrm{MPa}.
  • Comparação com o limite:
\sigma_{\text{T}} = 200\\ \mathrm{MPa} < S_y = 250\\ \mathrm{MPa},
portanto, segundo Tresca, o eixo NÃO atinge o escoamento.
  • Fator de segurança:
N_{\text{T}}=\frac{S_y}{\sigma_{\text{T}}}=\frac{250}{200}=1,25.

Passo 4

Critério de von Mises (Energia de Distorção) — explicação e fórmula:
  • A ideia física: o material escoa quando a energia de distorção acumulada atinge um valor crítico; matematicamente isso leva à forma de uma “tensão equivalente” que combina as diferenças entre as tensões principais.
  • A tensão equivalente de von Mises, em termos das tensões principais, é
\sigma_{\text{VM}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\bigl[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\bigr]}.
  • O critério de escoamento: ocorre escoamento se \sigma_{\text{VM}}\ge S_y.
  • O fator de segurança:
N_{\text{VM}}=\frac{S_y}{\sigma_{\text{VM}}}.

Passo 5

Aplicando von Mises aos dados (mostrando as contas):
  • Já temos as diferenças ao quadrado:
(\sigma_1-\sigma_2)^2 = 100^2 = 10\,000\\ \mathrm{(MPa)^2}
(\sigma_2-\sigma_3)^2 = 100^2 = 10\,000\\ \mathrm{(MPa)^2}
(\sigma_3-\sigma_1)^2 = (-200)^2 = 40\,000\\ \mathrm{(MPa)^2}
  • Soma dentro do radical:
(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2 = 10\,000+10\,000+40\,000=60\,000\\ \mathrm{(MPa)^2}.
  • Multiplicando por \tfrac{1}{2} e extraindo a raiz:
\sigma_{\text{VM}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\cdot 60\,000}=\sqrt{30\,000}\\ \mathrm{MPa}.
  • Avaliando numericamente:
\sigma_{\text{VM}}\approx 173,21\\ \mathrm{MPa}.
  • Comparação com o limite:
\sigma_{\text{VM}} \approx 173,21\\ \mathrm{MPa} < S_y = 250\\ \mathrm{MPa},
portanto, segundo von Mises, o eixo também NÃO atinge o escoamento.
  • Fator de segurança:
N_{\text{VM}}=\frac{250}{173,21}\approx 1,44.

Passo 6

Interpretação final (rápida e motivadora):
  • Ambos os critérios mostram que o estado de tensões está abaixo do limite de escoamento do aço: Tresca dá uma estimativa mais conservadora (maior tensão equivalente relativa) neste caso.
  • Os fatores de segurança estão modestos: N_{\text{T}}=1,25 e N_{\text{VM}}=1,44. Se estiveres planejando projeto real, valores típicos recomendados costumam ser maiores (depende da aplicação), então pode ser prudente revisar dimensionamento ou considerar fatores de projeto adicionais. Tu já veio até aqui — tá indo bem!

Resposta

Tresca: não atinge escoamento; fator de segurança N_{\text{T}}=1,25
von Mises: não atinge escoamento; fator de segurança N_{\text{VM}}\approx 1,44

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