Um eixo de aço está submetido a um estado de tensão em uma seção crítica, com tensões principais
e
. O limite de escoamento do aço é 250 MPa . Verifique se o eixo atingirá o escoamento segundo os critérios de Tensão Cisalhante Máxima (Tresca) e Energia de Distorção (von Mises) e calcule o fator de segurança para cada critério.
Passo 1
O enunciado dá as tensões principais na seção crítica e o limite de escoamento do aço. Precisamos:
- Verificar se ocorre escoamento segundo o critério de Tensão Cisalhante Máxima (Tresca).
- Verificar se ocorre escoamento segundo o critério de Energia de Distorção (von Mises).
- Calcular o fator de segurança para cada critério.
Informações dadas:
-
-
-
- Limite de escoamento
O que se pede:
- Determinar, para cada critério (Tresca e von Mises), se o estado de tensão provoca escoamento.
- Calcular o fator de segurança
para cada critério.
Passo 2
Critério de Tresca (Tensão Cisalhante Máxima) — explicação e fórmula:
- A ideia física: o material escoa quando a máxima tensão de cisalhamento alcança o valor de cisalhamento de escoamento do material.
- Em termos das tensões principais
, a máxima diferença entre duas tensões principais controla o critério. - A forma prática usada para comparação é definir uma “tensão equivalente” de Tresca como
- O critério de escoamento: ocorre escoamento se
. - O fator de segurança (definição usada aqui) é
Aqui
diz quantas vezes o carregamento equivalente caberia dentro do limite de escoamento.
Passo 3
Aplicando Tresca aos dados (contando cada diferença explicitamente):
- Calcular as diferenças:
- Logo
- Comparação com o limite:
portanto, segundo Tresca, o eixo NÃO atinge o escoamento.
- Fator de segurança:
Passo 4
Critério de von Mises (Energia de Distorção) — explicação e fórmula:
- A ideia física: o material escoa quando a energia de distorção acumulada atinge um valor crítico; matematicamente isso leva à forma de uma “tensão equivalente” que combina as diferenças entre as tensões principais.
- A tensão equivalente de von Mises, em termos das tensões principais, é
- O critério de escoamento: ocorre escoamento se
. - O fator de segurança:
Passo 5
Aplicando von Mises aos dados (mostrando as contas):
- Já temos as diferenças ao quadrado:
- Soma dentro do radical:
- Multiplicando por
e extraindo a raiz:
- Avaliando numericamente:
- Comparação com o limite:
portanto, segundo von Mises, o eixo também NÃO atinge o escoamento.
- Fator de segurança:
Passo 6
Interpretação final (rápida e motivadora):
- Ambos os critérios mostram que o estado de tensões está abaixo do limite de escoamento do aço: Tresca dá uma estimativa mais conservadora (maior tensão equivalente relativa) neste caso.
- Os fatores de segurança estão modestos:
e . Se estiveres planejando projeto real, valores típicos recomendados costumam ser maiores (depende da aplicação), então pode ser prudente revisar dimensionamento ou considerar fatores de projeto adicionais. Tu já veio até aqui — tá indo bem!
Resposta
Tresca: não atinge escoamento; fator de segurança
von Mises: não atinge escoamento; fator de segurança
von Mises: não atinge escoamento; fator de segurança