Uma viga de cerâmica utilizada em uma estrutura decorativa está submetida a um estado de tensão uniaxial de 25 MPa . A cerâmica possui uma resistência última à tração de 20 MPa . Verifique se a viga falhará segundo o critério de Tensão Normal Máxima (Rankine), calculando o fator de segurança e determinando se a falha ocorre, apresentando o resultado com duas casas decimais.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A tensão uniaxial aplicada na viga é \sigma_{\text{aplicada}} = 25\\ \mathrm{MPa}.
    • A resistência última à tração da cerâmica é \sigma_{u} = 20\\ \mathrm{MPa}.
  • O enunciado pede:
    1. Calcular o fator de segurança segundo o critério de Tensão Normal Máxima (Rankine).
    2. Determinar se a viga falhará segundo esse critério.

Passo 2

Explicação didática do critério de Tensão Normal Máxima (Rankine) e identificação das tensões principais no caso uniaxial.
  • O critério de Tensão Normal Máxima (Rankine) para materiais frágeis (como cerâmica) diz que a falha ocorre quando a maior tensão normal principal atinge ou excede a resistência última à tração do material. Em forma verbal: se a maior tensão normal principal \sigma_{\max} satisfaz \sigma_{\max}\ge \sigma_{u}, então ocorre falha por tração.
  • Em um estado de tensão uniaxial (apenas uma tensão aplicada e as outras são nulas), as tensões principais são:
    \sigma_1=\sigma_{\text{aplicada}},\qquad \sigma_2=0,\qquad \sigma_3=0.
    Logo, a maior tensão normal principal é
    \sigma_{\max}=\sigma_1=\sigma_{\text{aplicada}}=25\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Definição do fator de segurança usado aqui e fórmula aplicada.
  • Para o critério de Tensão Normal Máxima, um modo simples e padrão de definir o fator de segurança é:
    \mathrm{FS}=\dfrac{\sigma_{u}}{\sigma_{\max}},
    onde:
    • \mathrm{FS} é o fator de segurança (adimensional);
    • \sigma_{u} é a resistência última à tração do material;
    • \sigma_{\max} é a maior tensão normal principal no componente.
  • Interpretação rápida: se \mathrm{FS}\ge 1 então o componente está seguro (não falha por tração segundo Rankine); se \mathrm{FS}<1 então a falha ocorrerá.

Passo 4

Cálculo numérico do fator de segurança com as grandezas dadas, com contas passo a passo.
  • Substituindo os valores conhecidos na fórmula: \mathrm{FS}=\dfrac{\sigma_{u}}{\sigma_{\max}}=\dfrac{20\\ \mathrm{MPa}}{25\\ \mathrm{MPa}}.
  • As unidades se cancelam, restando um número adimensional: \mathrm{FS}=\dfrac{20}{25}=0,8.
  • Apresentando com duas casas decimais: \mathrm{FS}=0,80.

Passo 5

Conclusão se a viga falhará segundo Rankine e observações extras (interpretação física).
  • Como \mathrm{FS}=0,80<1, a condição de falha \sigma_{\max}\ge\sigma_{u} está satisfeita (na prática \sigma_{\max}=25\\ \mathrm{MPa}>\sigma_{u}=20\\ \mathrm{MPa}). Portanto, segundo o critério de Tensão Normal Máxima (Rankine), a viga de cerâmica falhará por tração.
  • Observação adicional (para intuir o quanto está além da capacidade): a tensão aplicada é 25\\ \mathrm{MPa}, que é 5\\ \mathrm{MPa} maior do que a resistência à tração, ou seja, a carga aplicada é 125\% da capacidade de tração ( 25/20=1,25). Isso confirma que a peça está sobrecarregada para tração.

Resposta

\mathrm{FS}=0,80
Falha: Sim — a viga falhará segundo o critério de Tensão Normal Máxima (Rankine).

Exercícios relacionados