Em um projeto de engenharia estrutural, uma barra de aço foi analisada para avaliar sua capacidade de suportar cargas axiais em uma estrutura de suporte de uma ponte. A barra, fabricada com um aço de alta resistência, foi projetada para operar sob condições de tração pura, ou seja, a força aplicada atua exclusivamente ao longo de seu eixo longitudinal, sem a presença de forças transversais ou momentos fletores significativos. Após ensaios e cálculos preliminares, determinouse que a tensão normal ao longo do eixo da barra, considerada a tensão principal máxima, atingiu um valor de 159,15 \mathrm{MPa}. Como a barra está sob tração axial pura, não há tensões normais significativas na direção perpendicular ao eixo longitudinal, de modo que a tensão principal mínima é igual a 0 MPa . Além disso, o estado de tensões na barra não apresenta tensões de cisalhamento iniciais no plano principal, caracterizando um caso clássico de tração uniaxial. Para garantir a segurança da estrutura, é necessário avaliar não apenas as tensões normais, mas também as tensões de cisalhamento que podem surgir em planos inclinados em relação ao eixo da barra. Neste sentido, determine a tensão de cisalhamento máxima.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede (pega tudo do enunciado):
  • Foi determinada a tensão principal máxima \sigma_1 = 159,15\\ \mathrm{MPa}.
  • A tensão principal mínima é \sigma_2 = 0\\ \mathrm{MPa}.
  • Não há tensões de cisalhamento iniciais no plano principal ( \tau_{12}=0); é tração uniaxial pura.
  • O que é pedido: determinar a tensão de cisalhamento máxima que pode aparecer em planos inclinados (isto é, o maior valor de \tau que aparece em qualquer plano dentro do estado de tensões dado).

Passo 2

Conceito e fórmula-chave (aulas curtas e claras):
  • Para um estado de tensões plano (duas tensões principais \sigma_1,\sigma_2 e cisalhamento nulo no sistema principal), o maior cisalhamento em qualquer plano está dado pelo raio do círculo de Mohr. Em palavras: a máxima tensão de cisalhamento é metade da diferença entre as tensões principais.
  • Em fórmula isso é
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}.
Explicando cada símbolo:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (em \mathrm{MPa}).
  • \sigma_1 é a maior tensão principal (em \mathrm{MPa}).
  • \sigma_2 é a menor tensão principal (em \mathrm{MPa}).
Breve intuição (sem jargões): imagine que as tensões normais puxam/comprimem em direções diferentes; o “desequilíbrio” entre elas gera a capacidade máxima de cisalhamento, e essa capacidade é justamente a metade da diferença.

Passo 3

Derivação curta (uma forma prática de ver por que a fórmula vale):
  • A expressão geral para a tensão de cisalhamento em um plano que forma ângulo \theta com a direção de \sigma_x (no caso genérico com \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}) é
\tau_{x'y'}=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin(2\theta)+\tau_{xy}\cos(2\theta).
  • No nosso caso temos \tau_{xy}=0 e podemos identificar \sigma_x=\sigma_1 e \sigma_y=\sigma_2. Assim a amplitude máxima em \theta de \tau_{x'y'} é
\tau_{\max}=\left|\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}\right|.
(Isto pode ser visto também derivando em relação a \theta e achando o máximo, ou olhando geometricamente para o círculo de Mohr; dá o mesmo resultado.)

Passo 4

Aplicando os números que o enunciado deu:
  • Substituindo \sigma_1=159,15\\ \mathrm{MPa} e \sigma_2=0\\ \mathrm{MPa} na fórmula
\tau_{\max}=\frac{\sigma_1-\sigma_2}{2}=\frac{159,15-0}{2}.

Passo 5

Cálculo final (passo a passo da conta):
\frac{159,15}{2}=79,575.
Então a tensão de cisalhamento máxima vale 79,575\\ \mathrm{MPa}.
Observação útil para a prova: esse máximo de cisalhamento ocorre em planos que estão inclinados 45^\circ em relação às direções das tensões principais (no caso simples de duas tensões principais e sem cisalhamento inicial). Isso é uma dica bom para responder rapidamente se pedirem ângulo do plano de máximo cisalhamento.

Resposta

\tau_{\max}=79,575\\ \mathrm{MPa}

Exercícios relacionados