O eixo se apoia sobre um filme de óleo com espessura de 2 mm e uma viscosidade de \mu= 0,0657 Pa.s. Se o eixo está girando a uma velocidade angular constante de 2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, determine a tensão de cisalhamento no óleo em um raio de 50 mm e em um raio de 100 mm . Suponha que o perfil de velocidade seja linear.

Passo 1

O enunciado descreve um eixo girando em um filme de óleo de espessura h=2\text{ mm}=0,002\text{ m} e viscosidade \mu=0,0657\text{ Pa\cdots} com velocidade angular constante \omega=2\text{ rad/s}. Queremos a tensão de cisalhamento \tau no óleo nos raios r_1=50\text{ mm}=0,05\text{ m} e r_2=100\text{ mm}=0,10\text{ m}. Como o perfil de velocidade é linear, usamos a lei de Newton para fluidos newtonianos:
\tau = \mu\,\frac{du}{dy},
onde \tfrac{du}{dy} é a taxa de deformação (gradiente de velocidade) na espessura do filme.

Passo 2

Como o fluido está “adeso” ao eixo e a parede externa está fixa, a velocidade tangencial no fluido varia de u=0 (na parede fixa) até u=v(r)=\omega\,r (na superfície do eixo). Assim, o gradiente de velocidade, com perfil linear, é
\frac{du}{dy} = \frac{v(r)-0}{h} = \frac{\omega\,r}{h}.
Logo, a tensão de cisalhamento é
\tau(r) = \mu\,\frac{\omega\,r}{h}.

Passo 3

Aplicando para cada raio:
Para r_1=0,05\text{ m}:
v_1 = \omega\,r_1 = 2 \times 0,05 = 0,10\text{ m/s},
\frac{du}{dy}\Big|_{r_1} = \frac{0,10}{0,002} = 50\text{ s}^{-1},
\tau_1 = \mu \times 50 = 0,0657 \times 50 = 3,285\text{ Pa}.
Para r_2=0,10\text{ m}:
v_2 = \omega\,r_2 = 2 \times 0,10 = 0,20\text{ m/s},
\frac{du}{dy}\Big|_{r_2} = \frac{0,20}{0,002} = 100\text{ s}^{-1},
\tau_2 = \mu \times 100 = 0,0657 \times 100 = 6,57\text{ Pa}.

Resposta

Tensão de cisalhamento no óleo em
r=50\text{ mm}: \tau_1 \approx 3,29\text{ Pa} r=100\text{ mm}: \tau_2 \approx 6,57\text{ Pa}

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