O eixo se apoia sobre um filme de óleo com espessura de 2 mm e uma viscosidade de \mu= 0,0657 Pa.s. Se o eixo está girando a uma velocidade angular constante de 2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, determine a tensão de cisalhamento no óleo em um raio de 50 mm e em um raio de 100 mm . Suponha que o perfil de velocidade seja linear.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o conteúdo. Temos um eixo girando dentro de um filme de óleo de espessura h=2\\ \text{mm} e viscosidade \mu=0,0657\\ \text{Pa}\cdot\text{s}. A velocidade angular do eixo é \omega=2\\ \text{rad/s}. Precisamos calcular a tensão de cisalhamento \tau no óleo para dois raios: r=50\\ \text{mm} e r=100\\ \text{mm}. Como o perfil de velocidade é linear, usaremos a lei de Newton para fluidos viscosos:
\tau = \mu \,\frac{dv}{dy}.

Passo 2

Expressão da velocidade tangencial na superfície do eixo e do gradiente de velocidade.
A velocidade tangencial do óleo junto ao eixo é
v_{\text{eixo}} = \omega\,r.
Como a parede externa está parada, a velocidade lá é zero. Com perfil linear, o gradiente (taxa de cisalhamento) é
\frac{dv}{dy} = \frac{v_{\text{eixo}} - 0}{h} = \frac{\omega\,r}{h}.

Passo 3

Cálculo em r = 50\\ \text{mm}.
Converter para metros: r = 0,05\\ \text{m}, h=0,002\\ \text{m}.
A taxa de cisalhamento é
\frac{dv}{dy} = \frac{\omega\,r}{h} = \frac{2\cdot 0,05}{0,002} = 50\\ \text{s}^{-1}.
Logo, a tensão de cisalhamento é
\tau = \mu\,\frac{dv}{dy} = 0,0657 \times 50 = 3,285\\ \text{Pa}.

Passo 4

Cálculo em r = 100\\ \text{mm}.
Agora r=0,10\\ \text{m}.
\frac{dv}{dy} = \frac{2\cdot 0,10}{0,002} = 100\\ \text{s}^{-1},
\tau = 0,0657 \times 100 = 6,57\\ \text{Pa}.

Resposta

Em r = 50\\ \text{mm}: \tau \approx 3{,}29\\ \text{Pa}.
Em r = 100\\ \text{mm}: \tau \approx 6{,}57\\ \text{Pa}.

Exercícios relacionados