A fita tem 10 mm de largura e passa por um aplicador, que aplica uma camada líquida (fluido newtoniano) com uma viscosidade de \mu=0,830 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} a cada lado da fita. Se a folga entre cada lado da fita e a superfície do aplicador é de 0,8 \mathrm{~mm}, determine o torque T no disco com r=150 \mathrm{~mm} necessário para girar o carretel a 0,5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Suponha o perfil de velocidade dentro líquido linear.

Passo 1

O enunciado descreve uma fita de largura w=10\:\mathrm{mm} que passa por um aplicador, em cuja folga de cada lado existe um fluido newtoniano de viscosidade \mu=0,830\:\mathrm{N\,s/m^2} e espessura h=0,8\:\mathrm{mm}. O carretel tem raio r=150\:\mathrm{mm} e gira a \omega=0,5\:\mathrm{rad/s}. Como o perfil de velocidade do fluido é presumido linear (fluxo de Couette), vamos calcular o torque T necessário para vencer o atrito viscoso.

Passo 2

A velocidade relativa entre a superfície da fita e o aplicador vale
V = \omega\,r.

Passo 3

Em escoamento de Couette com perfil linear, a tensão de cisalhamento no fluido é
\tau = \mu\,\frac{V}{h}.

Passo 4

A cada revolução do carretel, o comprimento de fita que recebe aplicação é
L = 2\pi\,r.
Cada lado da fita tem área de contato w\,L, sendo dois lados no total. Logo, a área total é
A = 2\,w\,L = 2\,w\,(2\pi r) = 4\pi\,w\,r.

Passo 5

A força viscosa total que se opõe ao movimento é
F = \tau\,A.

Passo 6

O torque necessário para vencer essa força, aplicada à distância r, é
T = F\,r = \tau\,A\,r.

Passo 7

Substituindo \tau e A em T, obtemos
T = \mu\,\frac{\omega\,r}{h}\;\bigl(4\pi\,w\,r\bigr)\;r = 4\pi\,\mu\,\omega\,\frac{w\,r^3}{h}.

Passo 8

Agora, basta inserir os valores (convertendo tudo para metros):
\begin{aligned} w&=0{,}01\:\mathrm{m},\quad r=0{,}15\:\mathrm{m},\quad h=0{,}0008\:\mathrm{m},\quad \omega=0{,}5\:\mathrm{rad/s},\quad \mu=0{,}830\:\mathrm{N\,s/m^2},\\\ T&=4\pi\,(0,830)\,(0,5)\,\frac{0,01\,(0,15)^3}{0,0008} \approx0{,}22\:\mathrm{N\cdot m}. \end{aligned}

Resposta

O torque necessário é aproximadamente T=0,22\:\mathrm{N\cdot m}.

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