Um eixo arvore de aço d=75 \mathrm{~mm}, W=27 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}, com F T=32 \mathrm{KN}. Determinar: raio, frequência, velocidade periférica, potência e torque.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede várias grandezas. Lista do que foi dado e do que é pedido:
  • Dados fornecidos:
    • diâmetro do eixo: d = 75\\ \mathrm{mm}
    • velocidade angular: \omega = 27\pi\\ \mathrm{rad/s}
    • força tangencial: F_T = 32\\ \mathrm{kN}
  • O que o problema pede:
    1. raio do eixo
    2. frequência (em \mathrm{Hz} e, se quisermos, em rpm)
    3. velocidade periférica (velocidade tangencial na superfície)
    4. potência entregue
    5. torque (momento) aplicado

Passo 2

Calcular o raio a partir do diâmetro. A relação é simples: o raio é metade do diâmetro. Explico a fórmula e a conversão de unidades.
  • Fórmula: r=\frac{d}{2}
  • Conversão: como d está em milímetros, convertemos para metros para que as outras fórmulas (que usam SI) fiquem consistentes: 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Aplicando:
r=\frac{75\\ \mathrm{mm}}{2}=\frac{75\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m}}{2}=37{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0375\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a frequência (número de revoluções por segundo) a partir da velocidade angular. Vou explicar a relação entre \omega e f.
  • Relação básica: \omega = 2\pi f,
onde \omega é a velocidade angular em \mathrm{rad/s} e f é a frequência em \mathrm{Hz} (revoluções por segundo). Invertendo,
f=\frac{\omega}{2\pi}.
Aplicando ao valor dado \omega=27\pi\\ \mathrm{rad/s}:
f=\frac{27\pi}{2\pi}=\frac{27}{2}=13{,}5\\ \mathrm{Hz}.
Se quisermos a rotação em rpm (rotações por minuto), multiplicamos f por 60:
n = 60f = 60\cdot 13{,}5 = 810\\ \mathrm{rpm}.

Passo 4

Calcular a velocidade periférica (velocidade tangencial na superfície do eixo). Explico a fórmula e o porquê.
  • Definição: a velocidade periférica v da superfície a raio r quando o eixo gira com \omega é
v=\omega r.
Isto vem da relação entre velocidade linear e angular: v=r\frac{d\theta}{dt}=r\omega.
Usando os valores calculados:
v = (27\pi)\cdot 0{,}0375 = 1{,}0125\pi\\ \mathrm{m/s}.
Valor numérico:
v \approx 1{,}0125\cdot 3{,}14159265 \approx 3{,}18086256\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular o torque (momento) aplicado pela força tangencial. Explico o conceito.
  • Definição: o torque \tau (ou momento) produzido por uma força tangencial F_T aplicada à distância r do eixo é
\tau = F_T \, r.
Unidades: se F_T em newtons e r em metros, \tau fica em \mathrm{N\cdot m}.
Converter F_T de \mathrm{kN} para \mathrm{N}: 32\\ \mathrm{kN}=32000\\ \mathrm{N}.
Aplicando:
\tau = 32000\\ \mathrm{N}\cdot 0{,}0375\\ \mathrm{m} = 1200\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Calcular a potência entregue. Vou mostrar duas fórmulas equivalentes e explicar por que são iguais.
  • Fórmula 1 (a partir do torque): P = \tau \,\omega.
Isto vem do fato de potência é força vezes velocidade linear; usando torque e velocidade angular, P=\tau\omega.
  • Fórmula 2 (a partir da força tangencial): P = F_T \, v,
onde v é a velocidade periférica. As duas são equivalentes porque v=r\omega e \tau=F_Tr, então \tau\omega=(F_Tr)\omega=F_T(r\omega)=F_T v.
Aplicando com os valores obtidos:
  • Usando \tau=1200\\ \mathrm{N\cdot m} e \omega=27\pi\\ \mathrm{rad/s}:
P = 1200\cdot 27\pi = 32400\pi\\ \mathrm{W}.
Valor numérico:
P \approx 32400\cdot 3{,}14159265 \approx 101787{,}6019\\ \mathrm{W}\approx 101{,}788\\ \mathrm{kW}.
(Confirme que usando F_T v dá o mesmo: F_T v = 32000\cdot 3{,}18086256 \approx 101787{,}6\\ \mathrm{W}.)

Passo 7

Resumo final dos resultados, com arredondamentos razoáveis e unidades SI. Você já pode copiar esses valores direto para a prova — recomendo apresentar o raio em metros, a frequência em Hz e rpm, a velocidade periférica em m/s, o torque em N·m e a potência em kW quando for pedir potência.

Resposta

\;r=0{,}0375\\ \mathrm{m} ( 37{,}5\\ \mathrm{mm} )
\;f=13{,}5\\ \mathrm{Hz} ( n=810\\ \mathrm{rpm})
\;v=1{,}0125\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 3{,}18086256\\ \mathrm{m/s}
\;P=32400\pi\\ \mathrm{W}\approx 101787{,}6\\ \mathrm{W}\\ (\approx 101{,}788\\ \mathrm{kW})
\;\tau=1200\\ \mathrm{N\cdot m}

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