O eixo árvore de uma máquina encontra-se chavetado a uma engrenagem para transmitir uma potência
, girando com
. O diâmetro da árvore é
. Determinar o comprimento mínimo da chave da chaveta um aço SAE 1045, com as tensões admissíveis de cisalhamento 60 MPa . Através do diâmetro do eixo encontram-se as seguintes dimensões da chaveta:
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento mínimo da chave (chaveta) necessário para transmitir a potência dada, usando o critério de cisalhamento com tensão admissível fornecida. Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
O que queremos encontrar: o comprimento mínimo
da chaveta que garanta que a tensão de cisalhamento não ultrapasse
.
Passo 2
Primeiro precisamos obter o torque transmitido pela chaveta. A relação entre potência, torque e velocidade angular é
onde
é a potência (em W),
o torque (em N·m) e
a velocidade angular (em rad/s). Como
(com
em rpm), isolando
obtemos a fórmula prática muito usada:
onde
está em kW e
em N·m. Substituindo os valores:
Agora calculamos passo a passo:
Para facilitar contas em mm, podemos converter para N·mm:
Passo 3
O torque
é transformado em uma força tangencial
aplicada na chaveta segundo a relação
onde
é o raio do eixo. Aqui
. Assim
Interpretação física: essa é a força tangencial que a chaveta precisa suportar para transmitir o torque.
Passo 4
Agora usamos o critério de cisalhamento para a chaveta. Se consideramos que a chaveta trabalha em cisalhamento simples (uma superfície de cisalhamento), a tensão de cisalhamento média é dada por
Aqui
é a área sujeita ao cisalhamento. Para a chaveta retangular padrão (com largura
e comprimento
), a área de cisalhamento é
Explico por que: o esforço de cisalhamento tende a deslizar a chaveta ao longo de uma superfície cujo comprimento é
e cuja espessura na direção tangencial é
; por isso a área que resiste ao corte é
vezes
. (Observação: em outras configurações poderia haver duas superfícies de corte, dobrando a área; aqui usamos o caso usual de cisalhamento simples conforme enunciado que pede usando
.)
Queremos que
. Substituindo
e isolando
:
Todas as variáveis:
em N,
em mm,
em N/mm^2 (MPa), então
vem em mm.
Passo 5
Substituímos os valores numéricos:
Logo
Calculando:
Arredondando convenientemente (e lembrando que, na prática, costuma-se adotar um comprimento comercial maior e arredondado para segurança), obtemos
Passo 6
Comentário didático rápido e importante: esse é o comprimento mínimo calculado considerando apenas a ruptura por cisalhamento na chaveta (cisalhamento simples). Na prática costuma-se verificar também a tensão de esmagamento (bearing) entre chaveta e cubo/ eixo, verificar fatores de segurança, tolerâncias e escolher um comprimento padrão maior. Mas como o enunciado forneceu apenas a tensão admissível de cisalhamento, o resultado acima atende ao pedido.