O eixo árvore de uma máquina encontra-se chavetado a uma engrenagem para transmitir uma potência \mathrm{P}=51,5 \mathrm{KW}, girando com \mathrm{n}=1440 \mathrm{rpm}. O diâmetro da árvore é \mathrm{d}=100 \mathrm{~mm}. Determinar o comprimento mínimo da chave da chaveta um aço SAE 1045, com as tensões admissíveis de cisalhamento 60 MPa . Através do diâmetro do eixo encontram-se as seguintes dimensões da chaveta: b=28 \mathrm{~mm} ; h=10 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento mínimo da chave (chaveta) necessário para transmitir a potência dada, usando o critério de cisalhamento com tensão admissível fornecida. Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
P=51,5\\ \mathrm{kW},\qquad n=1440\\ \mathrm{rpm},
d=100\\ \mathrm{mm},\qquad b=28\\ \mathrm{mm},\qquad h=10\\ \mathrm{mm},
\tau_{adm}=60\\ \mathrm{MPa}.
O que queremos encontrar: o comprimento mínimo L_{\min} da chaveta que garanta que a tensão de cisalhamento não ultrapasse \tau_{adm}.

Passo 2

Primeiro precisamos obter o torque transmitido pela chaveta. A relação entre potência, torque e velocidade angular é
P = T\cdot \omega,
onde P é a potência (em W), T o torque (em N·m) e \omega a velocidade angular (em rad/s). Como \omega = 2\pi n/60 (com n em rpm), isolando T obtemos a fórmula prática muito usada:
T=\frac{P\cdot 60}{2\pi n}=\frac{9550\,P}{n},
onde P está em kW e T em N·m. Substituindo os valores:
T=\frac{9550\cdot 51{,}5}{1440}.
Agora calculamos passo a passo:
9550\cdot 51{,}5 = 491\,825,
T=\frac{491\,825}{1440}=341{,}6326389\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 341{,}633\\ \mathrm{N\cdot m}.
Para facilitar contas em mm, podemos converter para N·mm:
T=341{,}633\\ \mathrm{N\cdot m}=341\,633\\ \mathrm{N\cdot mm}.

Passo 3

O torque T é transformado em uma força tangencial F aplicada na chaveta segundo a relação
T=F\cdot r,
onde r é o raio do eixo. Aqui r=d/2=100/2=50\\ \mathrm{mm}. Assim
F=\frac{T}{r}=\frac{341\,633}{50}=6\,832{,}65278\\ \mathrm{N}\approx 6\,832{,}65\\ \mathrm{N}.
Interpretação física: essa é a força tangencial que a chaveta precisa suportar para transmitir o torque.

Passo 4

Agora usamos o critério de cisalhamento para a chaveta. Se consideramos que a chaveta trabalha em cisalhamento simples (uma superfície de cisalhamento), a tensão de cisalhamento média é dada por
\tau=\frac{F}{A_{cis}}.
Aqui A_{cis} é a área sujeita ao cisalhamento. Para a chaveta retangular padrão (com largura b e comprimento L), a área de cisalhamento é
A_{cis}=b\cdot L.
Explico por que: o esforço de cisalhamento tende a deslizar a chaveta ao longo de uma superfície cujo comprimento é L e cuja espessura na direção tangencial é b; por isso a área que resiste ao corte é b vezes L. (Observação: em outras configurações poderia haver duas superfícies de corte, dobrando a área; aqui usamos o caso usual de cisalhamento simples conforme enunciado que pede usando \tau_{adm}.)
Queremos que \tau\le \tau_{adm}. Substituindo \tau=F/(bL) e isolando L:
L=\frac{F}{\tau_{adm}\,b}.
Todas as variáveis: F em N, b em mm, \tau_{adm} em N/mm^2 (MPa), então L vem em mm.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos:
F=6\,832{,}65278\\ \mathrm{N},\qquad \tau_{adm}=60\\ \mathrm{N/mm^2},\qquad b=28\\ \mathrm{mm}.
Logo
L=\frac{6\,832{,}65278}{60\cdot 28}=\frac{6\,832{,}65278}{1\,680}.
Calculando:
L\approx 4{,}0665\\ \mathrm{mm}.
Arredondando convenientemente (e lembrando que, na prática, costuma-se adotar um comprimento comercial maior e arredondado para segurança), obtemos
L_{\min}\approx 4{,}07\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Comentário didático rápido e importante: esse é o comprimento mínimo calculado considerando apenas a ruptura por cisalhamento na chaveta (cisalhamento simples). Na prática costuma-se verificar também a tensão de esmagamento (bearing) entre chaveta e cubo/ eixo, verificar fatores de segurança, tolerâncias e escolher um comprimento padrão maior. Mas como o enunciado forneceu apenas a tensão admissível de cisalhamento, o resultado acima atende ao pedido.

Resposta

L_{\min}=4{,}07\\ \mathrm{mm}

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