Encontre os pontos de máximo e mínimo (se existirem) da função
no domínio quadrado
.
a) Encontre os pontos críticos da função no interior do domínio.
b) Analise os valores da função nos contornos do domínio.
c) Compare os valores obtidos e identifique os máximos e mínimos globais no domínio
.
a) Encontre os pontos críticos da função no interior do domínio.
b) Analise os valores da função nos contornos do domínio.
c) Compare os valores obtidos e identifique os máximos e mínimos globais no domínio
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
no quadrado
:\n
a) Encontrar os pontos críticos de que estão no interior de
.\n
b) Analisar os valores de ao longo dos contornos (as quatro arestas) de
.\n
c) Comparar todos os valores obtidos (interior e contorno) e identificar os máximos e mínimos globais em .\n
Informações dadas que usaremos: a expressão da função e o domínio quadrado com os intervalos para e
.
a) Encontrar os pontos críticos de
b) Analisar os valores de
c) Comparar todos os valores obtidos (interior e contorno) e identificar os máximos e mínimos globais em
Informações dadas que usaremos: a expressão da função e o domínio quadrado com os intervalos para
Passo 2
Vamos encontrar os pontos onde o gradiente de
é nulo (pontos críticos no plano). Primeiro calculamos as derivadas parciais.\n
Um ponto crítico satisfaz
e
simultaneamente. Resolvendo:\n
Logo o único ponto crítico no plano é
. Agora precisamos checar se esse ponto está no interior de
. O interior de
requer
e
. Aqui
satisfaz
, mas
é o limite superior do intervalo, ou seja
está na borda, não no interior.\n
Conclusão deste passo: não há pontos críticos no interior aberto de (o único ponto crítico do plano,
, está na borda superior de
).
Conclusão deste passo: não há pontos críticos no interior aberto de
Passo 3
Explico rapidamente por que achamos esse ponto pelo gradiente e o que ele significa: o gradiente
indica direção de subida mais rápida; onde
temos candidatos a extremos locais. Também é útil ver a curvatura da função pelo Hessiano:\n
As entradas diagonais iguais a
e sem termos mistos mostram que
é estritamente convexa (curva para cima) em todo
. Isso significa que o ponto crítico único
é o único mínimo global se considerado o plano inteiro; mas como
está na borda de
, ele é um candidato muito forte ao mínimo em
— teremos de comparar com valores ao longo das arestas para confirmar o mínimo global em
.]
Passo 4
Agora analisamos as quatro arestas do quadrado separadamente. Em cada aresta fixamos uma variável e tratamos
como função de uma variável; procuramos pontos críticos internos da aresta (derivada unidimensional zero) e também avaliamos os extremos da aresta (os cantos).
Aresta 1:
.\n
Derivada em relação a
:
. Zera-se em
. Esse ponto é o vértice da parábola e está dentro do intervalo
mas é o extremo
(borda). Avaliando extremos da aresta:\n
Aresta 2:
.\n
o mesmo polinômio em
do caso anterior. Derivada
zera em
(novamente o extremo superior). Avaliando extremos:\n
Aresta 3:
.\n
Derivada em relação a
:
, que zera em
. Aqui
está estritamente dentro do intervalo
, então é um ponto crítico da aresta. Avaliando:\n
Também avaliamos os extremos da aresta (os cantos):\n
Aresta 4:
.\n
Derivada:
, que zera em
. Aqui
está dentro do intervalo
, então
é um ponto crítico da aresta (e é exatamente o ponto crítico do plano encontrado antes, que está na borda superior). Avaliando:\n
Também avaliamos os extremos da aresta:\n
Passo 5
Reunindo todos os candidatos (não existe ponto crítico no interior aberto, então os candidatos vêm da borda e dos cantos):\n
- Pontos críticos na borda encontrados:
com (aresta ), e com (aresta ).\n - Cantos do quadrado e seus valores:
com , com , com , com .\n
Agora comparamos todos os valores calculados:\n
Passo 6
Como queremos os máximos e mínimos globais em
, escolhemos o menor e o maior valor entre esses candidatos.\n
- O menor valor é
em . Como é estritamente convexa no plano e é o único crítico do plano, esse valor é o mínimo global em .\n - O maior valor entre os candidatos é
, atingido em dois pontos: e . Não há outro ponto em com valor maior, porque quadrática é crescente afastando-se do mínimo e já verificamos as arestas e cantos.\n
Portanto identificamos os máximos e mínimos globais no domínio.
Resposta
Mínimo global:
com
.\n
Máximos globais: e
com
.
Máximos globais: