Resolva os sistemas dados usando o método do exemplo 3.25.
12.
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Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear abaixo e pede que encontremos as incógnitas
Informações relevantes: são duas equações lineares e duas incógnitas; queremos o par ((x_1,x_2)] que satisfaz ambas.]
Passo 2
Vamos escolher um método sistemático de resolução (o mesmo que costuma aparecer em exemplos tipo “3.25”): eliminação por operações elementares em matriz aumentada (às vezes chamada eliminação de Gauss). Por que esse método? Porque transforma o sistema numa forma triangular facilmente solucionável por substituição, é mecânico (bom na prova) e funciona bem para sistemas 2×2 também. Agora eu ensino como fazer passo a passo.
Passo 3
Primeiro representamos o sistema pela matriz aumentada (colocando à direita os termos independentes). Essa é uma forma compacta que facilita aplicar operações sobre linhas:
Aqui cada linha corresponde a uma equação; a primeira coluna é os coeficientes de
, a segunda coluna é os coeficientes de
e a coluna após a barra vertical é o termo constante.]
Passo 4
Objetivo da eliminação: transformar a matriz numa forma triangular superior (ou diagonal) usando operações que não mudam o conjunto de soluções. Operações permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra. Eu escolho zerar o coeficiente de
na segunda linha usando a primeira linha como pivô. Faço:
Calculemos termo a termo:
- Novo primeiro elemento da linha 2:
. - Novo segundo elemento da linha 2:
. - Novo termo independente da linha 2:
.
A matriz transformada fica:
Passo 5
Agora a segunda linha representa a equação
, ou seja:
A partir daí isolamos
dividindo ambos os lados por
(isso é válido porque
):
Explicação didática: quando chegamos a uma equação com apenas uma incógnita, resolvemos diretamente por divisão. Esse passo é a “retrosubstituição” que vem depois da eliminação.
Passo 6
Com
conhecido, voltamos à primeira equação (ou à primeira linha da matriz) para encontrar
. A primeira linha corresponde a:
Substituindo
:
Pequena verificação (sempre bom checar na prova): substitua
nas duas equações originais:
- Primeira:
correto. - Segunda:
correto.
Tudo bate certinho.
Passo 7
Dica prática para a prova: para sistemas 2×2 às vezes dá para economizar tempo somando as duas equações (como atalho) quando os coeficientes combinam bem. Aqui, somando
dá
, logo
e então
. Mas use eliminação quando o sistema for maior ou quando quiser um procedimento seguro e repetível.