Resolva os sistemas dados usando o método do exemplo 3.25.
12. x_{1}-x_{2}=1
2 x_{1}+x_{2}=2

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear abaixo e pede que encontremos as incógnitas x_1\) e \(x_2\): \[\begin{cases} x_{1}-x_{2}=1,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}=2. \end{cases}
Informações relevantes: são duas equações lineares e duas incógnitas; queremos o par ((x_1,x_2)] que satisfaz ambas.]

Passo 2

Vamos escolher um método sistemático de resolução (o mesmo que costuma aparecer em exemplos tipo “3.25”): eliminação por operações elementares em matriz aumentada (às vezes chamada eliminação de Gauss). Por que esse método? Porque transforma o sistema numa forma triangular facilmente solucionável por substituição, é mecânico (bom na prova) e funciona bem para sistemas 2×2 também. Agora eu ensino como fazer passo a passo.

Passo 3

Primeiro representamos o sistema pela matriz aumentada (colocando à direita os termos independentes). Essa é uma forma compacta que facilita aplicar operações sobre linhas:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 2 \end{array}\right]
Aqui cada linha corresponde a uma equação; a primeira coluna é os coeficientes de x_1, a segunda coluna é os coeficientes de x_2 e a coluna após a barra vertical é o termo constante.]

Passo 4

Objetivo da eliminação: transformar a matriz numa forma triangular superior (ou diagonal) usando operações que não mudam o conjunto de soluções. Operações permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra. Eu escolho zerar o coeficiente de x_1 na segunda linha usando a primeira linha como pivô. Faço:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
Calculemos termo a termo:
  • Novo primeiro elemento da linha 2: 2 - 2\cdot 1 = 0.
  • Novo segundo elemento da linha 2: 1 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3.
  • Novo termo independente da linha 2: 2 - 2\cdot 1 = 0.
    A matriz transformada fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 0 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora a segunda linha representa a equação 0\cdot x_1 + 3\cdot x_2 = 0, ou seja:
3x_2 = 0.
A partir daí isolamos x_2 dividindo ambos os lados por 3 (isso é válido porque 3\neq 0):
x_2 = \frac{0}{3} = 0.
Explicação didática: quando chegamos a uma equação com apenas uma incógnita, resolvemos diretamente por divisão. Esse passo é a “retrosubstituição” que vem depois da eliminação.

Passo 6

Com x_2 conhecido, voltamos à primeira equação (ou à primeira linha da matriz) para encontrar x_1. A primeira linha corresponde a:
x_1 - x_2 = 1.
Substituindo x_2=0:
x_1 - 0 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1.
Pequena verificação (sempre bom checar na prova): substitua (x_1,x_2)=(1,0) nas duas equações originais:
  • Primeira: 1 - 0 = 1 correto.
  • Segunda: 2\cdot 1 + 0 = 2 correto.
    Tudo bate certinho.

Passo 7

Dica prática para a prova: para sistemas 2×2 às vezes dá para economizar tempo somando as duas equações (como atalho) quando os coeficientes combinam bem. Aqui, somando (x_1-x_2)+(2x_1+x_2)=1+2 3x_1=3, logo x_1=1 e então x_2=0. Mas use eliminação quando o sistema for maior ou quando quiser um procedimento seguro e repetível.

Resposta

x_1=1\
x_2=0

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