Um eixo circular maciço com 6 metros de comprimento e raio c é constituído de um material elastoplástico com tensão de escoamento igual a 145 MPa . Sabe-se que o torque plástico (cuja deformação é totalmente plástica) é 8200 Nm. (a) Determine o diâmetro do eixo; (b) Determine o torque que deve ser aplicado para que o raio elástico seja metade do raio do eixo; (c) Determine o ângulo de torção quando se inicia o escoamento; (d) Determine o ângulo de torção quando o raio elástico é metade do raio do eixo.
Passo 1
O enunciado trata de um eixo circular maciço de comprimento m e raio feito de material elastoplástico com tensão de escoamento à tração MPa. Foi dado o torque plástico total
que é o torque quando toda a seção está em escoamento plástico.
Conteúdo: teoria da torção elastoplástica em eixo circular, em que
o torque plástico total ésendo a tensão de escoamento ao cisalhamento;
a tensão de escoamento ao cisalhamento, pelo critério de Tresca, é
em regime parcialmente plástico (núcleo elástico de raio ), o torque é combinação de contribuições elástica () e plástica ();
o ângulo de torção elástico satisfaz
Passo 2
Determine o diâmetro . Da expressão do torque plástico total
Como MPa,
Logo
Passo 3
Torque para que o raio elástico seja . Em regime parcialmente plástico:
Mas em r=a atinge-se tau(a)=tauy, logo tfracGvarphiL=tfractauya. Assim
Trm el =2pi,tauyaintegral0^a r^3dr =pi2,tauy,a^3, Trm pl =2pi,tauyintegrala^c r^2dr =2pi3,tauyl(c^3-a^3r)
Somando e substituindo a^3=c^3/8:
T =pitauyl(a^32+23(c^3-a^3)r) =31pi48,tauy,c^3 approx0,96875,Tp approx0,96875cdot8200approx7944 Nm
Passo 4
Ângulo de torção ao início do escoamento (todo elástico, até tauy na fibra externa). O torque de escoamento elástico é
Ty = GvarphiyLJ com J=pi c^42,
mas também Ty=J,tauy/c=(pi/2)tauy,c^3. Para o ângulo,