(2,5) Um eixo circular maciço com 6 metros de comprimento e raio c é constituído de um material elastoplástico com tensão de escoamento igual a 145 MPa . Sabe-se que o torque plástico (cuja deformação é totalmente plástica) é 8200 Nm. (a) Determine o diâmetro do eixo; (b) Determine o torque que deve ser aplicado para que o raio elástico seja metade do raio do eixo; (c) Determine o ângulo de torção quando se inicia o escoamento; (d) Determine o ângulo de torção quando o raio elástico é metade do raio do eixo.

Passo 1

O enunciado trata de um eixo circular maciço de comprimento L=6 m e raio c feito de material elastoplástico com tensão de escoamento à tração sigmae=145 MPa. Foi dado o torque plástico total
Tp = 8200 Nm,
que é o torque quando toda a seção está em escoamento plástico.
Conteúdo: teoria da torção elastoplástica em eixo circular, em que
  • o torque plástico total é Tp = integral0^c taue,r,dA = 2pitauyintegral0^c r^2,dr = 2pi3,tauy,c^3, sendo tauy a tensão de escoamento ao cisalhamento;
  • a tensão de escoamento ao cisalhamento, pelo critério de Tresca, é tauy = sigmae2;
  • em regime parcialmente plástico (núcleo elástico de raio a), o torque é combinação de contribuições elástica ( r<= a) e plástica ( a<= r<= c);
  • o ângulo de torção elástico satisfaz tau(r)=G,varphiL,r

Passo 2

Determine o diâmetro d=2c. Da expressão do torque plástico total
Tp = 2pi3,tauy,c^3 Longrightarrow c^3 = 3,Tp2pi,tauy
Como tauy=sigmae/2=145/2=72,5 MPa,
c^3 = 3cdot82002picdot72,5times10^6 approx5,394times10^-5 m^3 Longrightarrow capprox0,0377 m
Logo
d = 2c approx 0,0754 mapprox75,4 mm

Passo 3

Torque para que o raio elástico seja a=tfrac c2. Em regime parcialmente plástico:
T = underbrace2piintegral0^a GvarphiL,r;r,drTrm el + underbrace2piintegrala^ctauy,r,drTrm pl
Mas em r=a atinge-se tau(a)=tauy, logo tfracGvarphiL=tfractauya. Assim
Trm el =2pi,tauyaintegral0^a r^3dr =pi2,tauy,a^3, Trm pl =2pi,tauyintegrala^c r^2dr =2pi3,tauyl(c^3-a^3r)
Somando e substituindo a^3=c^3/8:
T =pitauyl(a^32+23(c^3-a^3)r) =31pi48,tauy,c^3 approx0,96875,Tp approx0,96875cdot8200approx7944 Nm

Passo 4

Ângulo de torção ao início do escoamento (todo elástico, até tauy na fibra externa). O torque de escoamento elástico é
Ty = GvarphiyLJ com J=pi c^42,
mas também Ty=J,tauy/c=(pi/2)tauy,c^3. Para o ângulo,
varphiy = Ty,LG,J = tauy,LG,c
Em termos numéricos (tomando Gapprox80 GPa):
varphiy approx72,5times10^6cdot680times10^9cdot0,0377 approx0,144 radapprox8,26^circ

Passo 5

Ângulo de torção quando a=c/2. Neste ponto tau(a)=tauy e vale
varphia = tauy,LG,a = tauy,LG,(c/2) =2,tauy,LG,c =2,varphiy approx2cdot0,144=0,288 radapprox16,5^circ

Resposta

(a) dapprox75,4 mm.
(b) Tapprox7944 Nm.
(c) varphiy=dfractauyLG,capprox0,144 rad ( approx 8,26^circ).
(d) varphia =2,varphiyapprox0,288 rad ( approx 16,5^circ).

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