Um eixo circular para uso em uma estação de bombeamento está sendo projetado para transmitir 500 hp a 800 rpm sem exceder a tensão admissível de 41 MPa . Determine o diâmetro d necessário.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:\n
  • A função pedida: determinar o diâmetro d de um eixo circular que transmite potência sem exceder a tensão admissível.\n
  • Dados do enunciado:\n
    \;P = 500\\ \text{hp} (potência transmitida)\n
    \;n = 800\\ \text{rpm} (velocidade de rotação)\n
    \;\tau_{\text{adm}} = 41\\ \text{MPa} (tensão admissível de cisalhamento)\n
  • O que se pede: encontrar o diâmetro d do eixo (assumimos eixo maciço, circular, solicitado pelo enunciado).

Passo 2

Converter potência para unidades SI e calcular o torque T a partir da potência e da velocidade de rotação.\n
Explicação da fórmula: potência, torque e velocidade angular estão relacionados por\n
P = T \,\omega,
onde P é potência (em watts, \mathrm{W}), T é torque (em newton·metro, \mathrm{N\cdot m}) e \omega é a velocidade angular (em rad/s). A velocidade angular se obtém de n em rpm por\n
\omega = \frac{2\pi n}{60}.
Isolando T temos
T = \frac{P}{\omega} = \frac{P}{2\pi n/60} = \frac{30\,P}{\pi\,n}.
Aqui: P em \mathrm{W}, n em \mathrm{rpm} e T em \mathrm{N\cdot m}.\n
Conversão de potência: adotamos a conversão usual 1\\ \text{hp}=746\\ \mathrm{W}. Então
P = 500\\ \text{hp} = 500\cdot 746\\ \mathrm{W} = 373000\\ \mathrm{W}.
Agora calculamos T substituindo na fórmula:
T = \frac{30\cdot 373000}{\pi\cdot 800}.
Calculemos em etapas:\n
\frac{30\cdot 373000}{\pi} = \frac{11190000}{\pi} \approx 3561183{,}676
e dividindo por 800:
T \approx 4451{,}48\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comentário amistoso: isso é o “braço de giro” que o eixo precisa suportar — tanto faz se parece grande, só vamos colocar isso na fórmula da tensão.

Passo 3

Relação entre torque e tensão de cisalhamento para eixo circular maciço — derivação e significado das grandezas.\n
Para um eixo circular maciço submetido a torque T, a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max} ocorre na superfície e é dada por
\tau_{\max} = \frac{T\,c}{J},
onde:\n
  • c é o raio do eixo ( c = \dfrac{d}{2}),\n
  • J é o momento polar de inércia da seção circular sólida, dado por
J = \frac{\pi\,d^4}{32}.
Substituindo c e J em \tau_{\max} obtemos a forma prática muito usada:
\tau_{\max} = \frac{T\,(d/2)}{\pi d^4/32} = \frac{16\,T}{\pi\,d^3}.
Explicação simples: quanto maior o diâmetro d, muito mais “resistente” fica o eixo ao torque porque o denominador cresce com d^3.

Passo 4

Impor a condição de segurança e resolver para d.\n
A condição de projeto é que a tensão gerada não exceda a admissível:
\tau_{\max} \le \tau_{\text{adm}}.
Substituindo \tau_{\max} = \dfrac{16\,T}{\pi\,d^3}:
\frac{16\,T}{\pi\,d^3} \le \tau_{\text{adm}}.
Isolando d^3:
d^3 \ge \frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}.
Logo o diâmetro mínimo requerido é
d = \sqrt[3]{\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}}}.
Aqui \tau_{\text{adm}} deve estar em pascal ( \mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2}) e T em \mathrm{N\cdot m}. No nosso caso \tau_{\text{adm}} = 41\\ \mathrm{MPa} = 41\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Substituir valores numéricos e calcular passo a passo.\n
Valores que já temos:\n
\;T \approx 4451{,}48\\ \mathrm{N\cdot m}\n
\;\tau_{\text{adm}} = 41\times 10^{6}\\ \mathrm{Pa}\n
Agora o interior da raiz cúbica:
\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\text{adm}}} = \frac{16\cdot 4451{,}48}{\pi\cdot 41\times 10^{6}}.
Calculemos numericamente (em etapas):
16\cdot 4451{,}48 \approx 71223{,}68
\pi\cdot 41\times 10^{6} \approx 128805298{,}8
\frac{71223{,}68}{128805298{,}8} \approx 5{,}52943\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.
Agora a raiz cúbica:
d = \sqrt[3]{5{,}52943\times 10^{-4}}\\ \mathrm{m} \approx 0{,}08208\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
d \approx 82{,}1\\ \mathrm{mm}.
Comentário prático e encorajador: deu mais ou menos 82\\ \mathrm{mm}. Na prática escolhe-se o próximo diâmetro padrão comercial (por exemplo 85\\ \mathrm{mm} ou uma classe normal disponível), mas o cálculo teórico, que é o que a prova quer, dá cerca de 82{,}1\\ \mathrm{mm}. Mandou bem por pedir isso — agora você sabe como chegar nesse número passo a passo!

Resposta

d = 0,08208\\ \mathrm{m} = 82{,}1\\ \mathrm{mm}

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