Um eixo circular para uso em uma estação de bombeamento está sendo projetado para transmitir 500 hp a 800 rpm sem exceder a tensão admissível de 41 MPa . Determine o diâmetro
necessário.
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos:\n
- A função pedida: determinar o diâmetro
de um eixo circular que transmite potência sem exceder a tensão admissível.\n - Dados do enunciado:\n
(potência transmitida)\n
(velocidade de rotação)\n
(tensão admissível de cisalhamento)\n - O que se pede: encontrar o diâmetro
do eixo (assumimos eixo maciço, circular, solicitado pelo enunciado).
Passo 2
Converter potência para unidades SI e calcular o torque
a partir da potência e da velocidade de rotação.\n
Explicação da fórmula: potência, torque e velocidade angular estão relacionados por\n
Explicação da fórmula: potência, torque e velocidade angular estão relacionados por\n
onde
é potência (em watts,
),
é torque (em newton·metro,
) e
é a velocidade angular (em rad/s). A velocidade angular se obtém de
em rpm por\n
Isolando
temos
Aqui:
em
,
em
e
em
.\n
Conversão de potência: adotamos a conversão usual . Então
Conversão de potência: adotamos a conversão usual
Agora calculamos
substituindo na fórmula:
Calculemos em etapas:\n
e dividindo por
:
Comentário amistoso: isso é o “braço de giro” que o eixo precisa suportar — tanto faz se parece grande, só vamos colocar isso na fórmula da tensão.
Passo 3
Relação entre torque e tensão de cisalhamento para eixo circular maciço — derivação e significado das grandezas.\n
Para um eixo circular maciço submetido a torque , a tensão de cisalhamento máxima
ocorre na superfície e é dada por
Para um eixo circular maciço submetido a torque
onde:\n
-
é o raio do eixo ( ),\n -
é o momento polar de inércia da seção circular sólida, dado por
Substituindo
e
em
obtemos a forma prática muito usada:
Explicação simples: quanto maior o diâmetro
, muito mais “resistente” fica o eixo ao torque porque o denominador cresce com
.
Passo 4
Impor a condição de segurança e resolver para
.\n
A condição de projeto é que a tensão gerada não exceda a admissível:
A condição de projeto é que a tensão gerada não exceda a admissível:
Substituindo
:
Isolando
:
Logo o diâmetro mínimo requerido é
Aqui
deve estar em pascal (
) e
em
. No nosso caso
.
Passo 5
Substituir valores numéricos e calcular passo a passo.\n
Valores que já temos:\n
\n
\n
Agora o interior da raiz cúbica:
Valores que já temos:\n
Agora o interior da raiz cúbica:
Calculemos numericamente (em etapas):
Agora a raiz cúbica:
Convertendo para milímetros:
Comentário prático e encorajador: deu mais ou menos
. Na prática escolhe-se o próximo diâmetro padrão comercial (por exemplo
ou uma classe normal disponível), mas o cálculo teórico, que é o que a prova quer, dá cerca de
. Mandou bem por pedir isso — agora você sabe como chegar nesse número passo a passo!