Qual a máxima potência que pode ser transmitida por um eixo propulsor vazado (diâmetro externo de 50 mm , diâmetro interno de 40 mm e módulo de elasticidade de cisalhamento de 80 GPa ) girando a 600 rpm se a tensão de cisalhamento admissível for
e a taxa de torção admissível for
?
Passo 1
O enunciado pede a máxima potência que pode ser transmitida por um eixo propulsor vazado, dadas as seguintes informações:
- Diâmetro externo:
. - Diâmetro interno:
. - Módulo de elasticidade de cisalhamento:
. - Velocidade de rotação:
. - Tensão de cisalhamento admissível:
. - Taxa de torção admissível:
.
Pergunta explícita: qual é a máxima potência transmissível pelo eixo, considerando as duas limitações (tensão admissível e taxa de torção admissível)?
Passo 2
Primeiro vamos organizar as unidades no sistema SI (metros, pascal, radianos):
- Converter diâmetros para metros:
- Converter
e para pascal:
Agora a fórmula do momento polar de inércia (segunda polar) para um eixo circular vazado é
onde
tem unidades
. Essa fórmula vem da definição do momento polar para área circular, subtraindo o furo interno. Vamos calcular
:
Calcule
e
:
Subtraindo:
Agora:
Também vamos anotar o raio externo (onde a tensão máxima ocorre):
Passo 3
Agora usamos a condição da tensão de cisalhamento máxima. A relação entre torque
e tensão tangencial máxima
para um eixo circular é
onde
-
é a tensão de cisalhamento máxima na superfície, -
é o torque aplicado, -
é o raio externo, -
é o momento polar calculado.
Isolando
quando a tensão é igual à admissível:
Substituindo os valores numéricos:
Calcule passo a passo: o numerador é aproximadamente
. Dividindo por
obtemos
Passo 4
Agora a condição da taxa de torção (ângulo de torção por unidade de comprimento). A relação entre torque e taxa de torção é
onde
-
é a taxa de torção (radianos por metro), -
é o módulo de elasticidade ao cisalhamento, -
é o momento polar.
Isolando
:
Primeiro convertemos a taxa admissível de graus por metro para radianos por metro:
Agora substituímos:
Calcule passo a passo:
. Multiplicando pela taxa:
Passo 5
Agora comparamos as duas torques admissíveis:
- Torque limitado por tensão:
. - Torque limitado por torção:
.
A máxima torque segura é o menor desses valores, portanto
Passo 6
Finalmente, convertemos velocidade de rotação em velocidade angular e calculamos potência. A velocidade angular é
onde
está em rpm. Para
:
A potência transmitida por um torque
girando com velocidade angular
é
Usando
:
Convertendo para quilowatts:
Observação rápida: se tivéssemos usado a limitação pela torção (
) obteríamos uma potência um pouco maior (aprox.
), mas a restrição por tensão é a que define o máximo seguro.