Qual a máxima potência que pode ser transmitida por um eixo propulsor vazado (diâmetro externo de 50 mm , diâmetro interno de 40 mm e módulo de elasticidade de cisalhamento de 80 GPa ) girando a 600 rpm se a tensão de cisalhamento admissível for 80 M P a e a taxa de torção admissível for 2,5^{\circ} / m ?

Passo 1

O enunciado pede a máxima potência que pode ser transmitida por um eixo propulsor vazado, dadas as seguintes informações:
  • Diâmetro externo: D=50\\ \text{mm}.
  • Diâmetro interno: d=40\\ \text{mm}.
  • Módulo de elasticidade de cisalhamento: G=80\\ \text{GPa}.
  • Velocidade de rotação: n=600\\ \text{rpm}.
  • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{adm}=80\\ \text{MPa}.
  • Taxa de torção admissível: 2,5^\circ/\text{m}.
Pergunta explícita: qual é a máxima potência transmissível pelo eixo, considerando as duas limitações (tensão admissível e taxa de torção admissível)?

Passo 2

Primeiro vamos organizar as unidades no sistema SI (metros, pascal, radianos):
  • Converter diâmetros para metros: D=50\\ \text{mm}=0,05\\ \text{m},\qquad d=40\\ \text{mm}=0,04\\ \text{m}.
  • Converter G e \tau_{adm} para pascal: G=80\\ \text{GPa}=80\times10^{9}\\ \text{Pa},\qquad \tau_{adm}=80\\ \text{MPa}=80\times10^{6}\\ \text{Pa}.
Agora a fórmula do momento polar de inércia (segunda polar) para um eixo circular vazado é
J=\frac{\pi}{32}\,\bigl(D^{4}-d^{4}\bigr),
onde J tem unidades \mathrm{m^{4}}. Essa fórmula vem da definição do momento polar para área circular, subtraindo o furo interno. Vamos calcular J:
Calcule D^{4} e d^{4}:
D^{4}=(0,05)^{4}=6{,}25\times10^{-6},\qquad d^{4}=(0,04)^{4}=2{,}56\times10^{-6}.
Subtraindo:
D^{4}-d^{4}=6{,}25\times10^{-6}-2{,}56\times10^{-6}=3{,}69\times10^{-6}.
Agora:
J=\frac{\pi}{32}\times3{,}69\times10^{-6}\approx3{,}62\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.
Também vamos anotar o raio externo (onde a tensão máxima ocorre):
r=\frac{D}{2}=0,025\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora usamos a condição da tensão de cisalhamento máxima. A relação entre torque T e tensão tangencial máxima \tau_{\max} para um eixo circular é
\tau_{\max}=\frac{T\,r}{J},
onde
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima na superfície,
  • T é o torque aplicado,
  • r é o raio externo,
  • J é o momento polar calculado.
Isolando T quando a tensão é igual à admissível:
T_{\tau}=\frac{\tau_{adm}\,J}{r}.
Substituindo os valores numéricos:
T_{\tau}=\frac{80\times10^{6}\times3{,}62\times10^{-7}}{0,025}.
Calcule passo a passo: o numerador é aproximadamente 80\times10^{6}\times3{,}62\times10^{-7}\approx28{,}97. Dividindo por 0,025 obtemos
T_{\tau}\approx1{,}159\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}\\ (\text{aprox. }1{,}16\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}).

Passo 4

Agora a condição da taxa de torção (ângulo de torção por unidade de comprimento). A relação entre torque e taxa de torção é
\frac{d\theta}{dx}=\frac{T}{G\,J},
onde
  • \dfrac{d\theta}{dx} é a taxa de torção (radianos por metro),
  • G é o módulo de elasticidade ao cisalhamento,
  • J é o momento polar.
Isolando T:
T_{\theta}=\left(\frac{d\theta}{dx}\right)_{adm}\,G\,J.
Primeiro convertemos a taxa admissível de graus por metro para radianos por metro:
2{,}5^\circ/\mathrm{m}=2{,}5\cdot\frac{\pi}{180}\\ \mathrm{rad/m}\approx0{,}043633\\ \mathrm{rad/m}.
Agora substituímos:
T_{\theta}=0{,}043633\times80\times10^{9}\times3{,}62\times10^{-7}.
Calcule passo a passo: GJ\approx80\times10^{9}\times3{,}62\times10^{-7}\approx2,8968\times10^{4}. Multiplicando pela taxa:
T_{\theta}\approx2,8968\times10^{4}\times0{,}043633\approx1{,}264\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Agora comparamos as duas torques admissíveis:
  • Torque limitado por tensão: T_{\tau}\approx1{,}159\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Torque limitado por torção: T_{\theta}\approx1{,}264\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.
A máxima torque segura é o menor desses valores, portanto
T_{max}=T_{\tau}\approx1{,}159\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Finalmente, convertemos velocidade de rotação em velocidade angular e calculamos potência. A velocidade angular é
\omega=\frac{2\pi n}{60},
onde n está em rpm. Para n=600\\ \mathrm{rpm}:
\omega=\frac{2\pi\times600}{60}=20\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx62{,}832\\ \mathrm{rad/s}.
A potência transmitida por um torque T girando com velocidade angular \omega é
P=T\,\omega.
Usando T_{max}=1{,}159\times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}:
P_{max}=1{,}159\times10^{3}\times62{,}832\\ \mathrm{W}\approx7{,}28\times10^{4}\\ \mathrm{W}.
Convertendo para quilowatts:
P_{max}\approx72{,}8\\ \mathrm{kW}.
Observação rápida: se tivéssemos usado a limitação pela torção ( T_{\theta}) obteríamos uma potência um pouco maior (aprox. 79{,}4\\ \mathrm{kW}), mas a restrição por tensão é a que define o máximo seguro.

Resposta

P_{\max}\approx72{,}8\\ \mathrm{kW}

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