Um eixo é constituído por um tubo de aço de 50 mm de diâmetro externo e deve transmitir 100 kW de potência a uma frequência de 20 Hz . Determinar a espessura do tubo para que a tensão máxima de cisalhamento não exceda a 60 MPa .
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos.\n
- Pedido: determinar a espessura do tubo (espessura
) de um eixo tubular de aço de modo que a tensão máxima de cisalhamento não exceda .\n - Dados fornecidos:
- Diâmetro externo do tubo:
. (vou usar o raio externo .) - Potência transmitida:
. - Frequência de rotação:
. - Tensão máxima admissível de cisalhamento:
.\n
- Diâmetro externo do tubo:
- Fórmulas fornecidas no enunciado:
- Relação entre potência e torque:
- Tensão de cisalhamento máxima em torção:
\n
- Relação entre potência e torque:
Observação: a peça é tubular; usaremos a expressão do momento polar de inércia
para seção circular oca.
Passo 2
Converter dados para unidades SI e escrever incógnitas.\n
-
.\n -
.\n -
.\n - Raio externo:
\n - Incógnita: espessura
. Raio interno será
Passo 3
Determinar o torque
a partir da potência.\n
A relação entre potência, torque e velocidade angular (em rad/s) é
Como
, temos a fórmula do enunciado
\n
Isolando
:
\n
Substituindo numericamente:
\n
Valor numérico aproximado:
Passo 4
Explicar a fórmula da tensão de cisalhamento em torção e o momento polar
.\n
- A tensão de cisalhamento máxima na superfície de um eixo circular sujeito a torque
ocorre na fibra mais externa (raio ) e é dada por , onde: -
é a tensão de cisalhamento máxima (Pa), -
é o torque (N·m), -
é a distância da linha neutra até a fibra mais externa (m) — aqui , -
é o momento polar de inércia da seção transversal (m^{4}).\n
-
- Para uma seção circular oca (tubo) com raio externo
e raio interno , o momento polar de inércia vale: \n
Iremos impor que a tensão máxima atinja, no pior caso, exatamente o valor admissível para obter a espessura mínima que satisfaça a restrição:
.
Passo 5
Isolar
da expressão de tensão e relacionar com
.\n
Partindo de
, isolamos
:
\n
Igualando ao valor do momento polar para tubo:
\n
Isolando
:
Passo 6
Calcular numericamente cada termo para obter
.\n
Calculemos
numérico primeiro:
\n
Fazendo a conta:
\n
Agora calcule
:
\n
Calcule o termo subtraído:
\n
Então:
Passo 7
Extrair a raiz quarta para obter
e depois a espessura
.\n
Tomando a raiz quarta:
\n
Convertendo para milímetros:
\n
A espessura do tubo é
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança).\n
Com
temos
e o momento polar:
\n
então
(coerente com a exigência de limite). Isso confirma o cálculo.\n
Observação prática: como resultado obtivemos . Em projeto real costuma-se adotar uma espessura comercial padrão um pouco maior (por exemplo
ou
) para segurança e facilidade de fabricação.
Observação prática: como resultado obtivemos