Um eixo é constituído por um tubo de aço de 50 mm de diâmetro externo e deve transmitir 100 kW de potência a uma frequência de 20 Hz . Determinar a espessura do tubo para que a tensão máxima de cisalhamento não exceda a 60 MPa .
P=T .2 \pi . f
\tau=\frac{T c}{J}

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos.\n
  • Pedido: determinar a espessura do tubo (espessura t) de um eixo tubular de aço de modo que a tensão máxima de cisalhamento não exceda 60\\ \text{MPa}.\n
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro externo do tubo: D_{o}=50\\ \text{mm}. (vou usar o raio externo c_{o}=D_{o}/2.)
    • Potência transmitida: P=100\\ \text{kW}.
    • Frequência de rotação: f=20\\ \text{Hz}.
    • Tensão máxima admissível de cisalhamento: \tau_{\text{adm}}=60\\ \text{MPa}.\n
  • Fórmulas fornecidas no enunciado:
    • Relação entre potência e torque: P=T\cdot 2\pi f
    • Tensão de cisalhamento máxima em torção: \tau=\frac{T\,c}{J}\n
Observação: a peça é tubular; usaremos a expressão do momento polar de inércia J para seção circular oca.

Passo 2

Converter dados para unidades SI e escrever incógnitas.\n
  • P=100\\ \text{kW}=100\cdot 10^{3}\\ \text{W}.\n
  • f=20\\ \text{Hz}.\n
  • \tau_{\text{adm}}=60\\ \text{MPa}=60\cdot 10^{6}\\ \text{Pa}.\n
  • Raio externo: c_{o}=\frac{D_{o}}{2}=\frac{50\\ \text{mm}}{2}=25\\ \text{mm}=0,025\\ \text{m}.\n
  • Incógnita: espessura t. Raio interno será c_{i}=c_{o}-t.

Passo 3

Determinar o torque T a partir da potência.\n
A relação entre potência, torque e velocidade angular (em rad/s) é P=T\cdot \omega. Como \omega=2\pi f, temos a fórmula do enunciado P=T\cdot 2\pi f.\n
Isolando T: T=\frac{P}{2\pi f}.\n
Substituindo numericamente: T=\frac{100\cdot 10^{3}}{2\pi\cdot 20}=\frac{100\cdot 10^{3}}{40\pi}=\frac{2500}{\pi}\\ \text{N}\cdot\text{m}.\n
Valor numérico aproximado: T\approx 795,77\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 4

Explicar a fórmula da tensão de cisalhamento em torção e o momento polar J.\n
  • A tensão de cisalhamento máxima na superfície de um eixo circular sujeito a torque T ocorre na fibra mais externa (raio c) e é dada por \tau=\dfrac{T\,c}{J}, onde:
    • \tau é a tensão de cisalhamento máxima (Pa),
    • T é o torque (N·m),
    • c é a distância da linha neutra até a fibra mais externa (m) — aqui c=c_{o},
    • J é o momento polar de inércia da seção transversal (m^{4}).\n
  • Para uma seção circular oca (tubo) com raio externo c_{o} e raio interno c_{i}, o momento polar de inércia vale: J=\frac{\pi}{2}\bigl(c_{o}^{4}-c_{i}^{4}\bigr).\n
Iremos impor que a tensão máxima atinja, no pior caso, exatamente o valor admissível para obter a espessura mínima que satisfaça a restrição: \tau_{\text{adm}}=\dfrac{T\,c_{o}}{J}.

Passo 5

Isolar J da expressão de tensão e relacionar com c_{i}.\n
Partindo de \tau_{\text{adm}}=\dfrac{T\,c_{o}}{J}, isolamos J: J=\frac{T\,c_{o}}{\tau_{\text{adm}}}.\n
Igualando ao valor do momento polar para tubo: \frac{\pi}{2}\bigl(c_{o}^{4}-c_{i}^{4}\bigr)=\frac{T\,c_{o}}{\tau_{\text{adm}}}.\n
Isolando c_{i}^{4}: c_{i}^{4}=c_{o}^{4}-\frac{2}{\pi}\cdot\frac{T\,c_{o}}{\tau_{\text{adm}}}.

Passo 6

Calcular numericamente cada termo para obter c_{i}.\n
Calculemos J numérico primeiro: J=\frac{T\,c_{o}}{\tau_{\text{adm}}}=\frac{795,77\cdot 0,025}{60\cdot 10^{6}}\\ \text{m}^{4}.\n
Fazendo a conta: J\approx 3,3157\cdot 10^{-7}\\ \text{m}^{4}.\n
Agora calcule c_{o}^{4}: c_{o}^{4}=(0,025)^{4}=3,90625\cdot 10^{-7}\\ \text{m}^{4}.\n
Calcule o termo subtraído: \frac{2}{\pi}\cdot J\approx 0,6366197\cdot 3,3157\cdot 10^{-7}\approx 2,11082\cdot 10^{-7}\\ \text{m}^{4}.\n
Então: c_{i}^{4}=3,90625\cdot 10^{-7}-2,11082\cdot 10^{-7}=1,79543\cdot 10^{-7}\\ \text{m}^{4}.

Passo 7

Extrair a raiz quarta para obter c_{i} e depois a espessura t.\n
Tomando a raiz quarta: c_{i}=\bigl(1,79543\cdot 10^{-7}\bigr)^{1/4}\approx 0,02062\\ \text{m}.\n
Convertendo para milímetros: c_{i}\approx 20,62\\ \text{mm}.\n
A espessura do tubo é t=c_{o}-c_{i}=25\\ \text{mm}-20,62\\ \text{mm}=4,38\\ \text{mm}.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança).\n
Com t\approx 4,38\\ \text{mm} temos c_{i}=0,02062\\ \text{m} e o momento polar: J=\frac{\pi}{2}\bigl(0,025^{4}-0,02062^{4}\bigr)\approx 3,3157\cdot 10^{-7}\\ \text{m}^{4},\n
então \tau=\dfrac{T\,c_{o}}{J}\approx 60\\ \text{MPa} (coerente com a exigência de limite). Isso confirma o cálculo.\n
Observação prática: como resultado obtivemos t\approx 4,38\\ \text{mm}. Em projeto real costuma-se adotar uma espessura comercial padrão um pouco maior (por exemplo 4,5\\ \text{mm} ou 5\\ \text{mm}) para segurança e facilidade de fabricação.

Resposta

t\approx 4,38\\ \text{mm}

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