Um eixo com diâmetro de 75 mm transmite torque para um acoplamento através da chaveta quadrada de 20 \times 20 \times 125 \mathrm{~mm} de comprimento.
  • Utilizando F.S. =2 e sabendo-se que o material apresenta \sigma e=34 \mathrm{Kgf} / \mathrm{mm} 2
    Determine o máximo de torque que pode ser transmitido

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o valor máximo do torque transmitido:
  • Diâmetro do eixo: d=75\\ \mathrm{mm}.
  • Chaveta quadrada com seção 20\times20\\ \mathrm{mm} e comprimento L=125\\ \mathrm{mm}.
  • A figura mostra que a chaveta tem 10\\ \mathrm{mm} acima do centro e 10\\ \mathrm{mm} abaixo do centro (ou seja, metade da altura =10\\ \mathrm{mm} em contato com o cubo/hub).
  • Fator de segurança: \mathrm{F.S.}=2.
  • Material com \sigma_e=34\\ \mathrm{kgf/mm^2}.
  • Pergunta: determinar o máximo torque transmissível pela chaveta.

Passo 2

Como vamos proceder (sem resolver ainda): para chavetas normalmente há duas modos de falha a verificar e comparar:
  1. Cisalhamento da chaveta (shear) ao longo da sua seção longitudinal. O torque T é equilibrado por uma força tangencial F aplicada à chaveta a uma distância r (raio do eixo), ou seja T=F\cdot r. A resistência disponível para cisalhamento é \tau_{adm}\cdot A_{shear}, onde A_{shear} é a área sujeita ao cisalhamento e \tau_{adm} é a tensão admissível à cisalhação (vamos obter a partir de \sigma_e e do F.S.).
  2. Compressão (esmagamento) da chaveta contra o cubo (bearing/crushing) sobre a face superior que transmite a carga. A força F causa uma tensão compressiva p=F/A_{bearing} onde A_{bearing} é a área de contato (comprimento L vezes a altura de contato). A resistência disponível é \sigma_{adm}\cdot A_{bearing}.
O torque máximo será o menor obtido entre as curvas de resistência por cisalhamento e por esmagamento. Nos próximos passos calculo cada modo detalhadamente.

Passo 3

Definições, fórmulas e valores intermediários que usarei:
  • Raio do eixo: r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{75}{2}=37{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Admissíveis a partir de \sigma_e e do F.S.: geralmente, quando o enunciado fornece uma tensão de projeto \sigma_e e pede usar F.S., assume-se que a tensão admissível (tanto para cisalhamento quanto para compressão neste problema) é \dfrac{\sigma_e}{\mathrm{F.S.}}. Assim, \tau_{adm}=\sigma_{adm}=\dfrac{\sigma_e}{\mathrm{F.S.}}=\dfrac{34}{2}=17\\ \mathrm{kgf/mm^2}.(Observação: em projetos reais a tensão de cisalhamento e a de compressão podem ter fatores diferentes; aqui o enunciado fornece apenas \sigma_e e pede F.S., então usamos o mesmo valor admissível para os dois modos).
  • Área de cisalhamento da chaveta: a chaveta tem largura b=20\\ \mathrm{mm} e comprimento L=125\\ \mathrm{mm}. A área sujeita a cisalhamento (uma única superfície de corte ao longo do comprimento) é A_{shear}=b\cdot L=20\cdot125=2500\\ \mathrm{mm^2}.(Se fosse cisalhamento em dupla seção usaríamos 2bL; o enunciado e a configuração típica implicam cisalhamento simples da chaveta.)
  • Área de contato (esmagamento) entre chaveta e cubo: a altura de contato com o cubo, segundo a figura, é 10\\ \mathrm{mm} (metade da altura da chaveta). Portanto A_{bearing}=(\text{altura de contato})\cdot L=10\cdot125=1250\\ \mathrm{mm^2}.
  • Equilíbrio do torque: a força tangencial F que age na chaveta satisfaz T=F\cdot r.Podemos calcular F a partir da tensão admissível e da respectiva área para cada modo.

Passo 4

Cálculo do torque limite pela condição de cisalhamento:
  • Força admissível por cisalhamento: F_{shear}=\tau_{adm}\cdot A_{shear}=17\cdot2500=42500\\ \mathrm{kgf}.
  • Torque correspondente: T_{shear}=F_{shear}\cdot r=42500\cdot37{,}5=1\,593\,750\\ \mathrm{kgf\cdot mm}.
  • Converto para unidades usuales (N·m). Como 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}80665\\ \mathrm{N} e 1\\ \mathrm{kgf\cdot mm}=9{,}80665\cdot10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot m}, T_{shear}=1\,593\,750\cdot0{,}00980665\approx15\,634\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Cálculo do torque limite pela condição de esmagamento (compressão) do flanco da chaveta:
  • Força admissível por compressão: F_{crush}=\sigma_{adm}\cdot A_{bearing}=17\cdot1250=21\,250\\ \mathrm{kgf}.
  • Torque correspondente: T_{crush}=F_{crush}\cdot r=21\,250\cdot37{,}5=796\,875\\ \mathrm{kgf\cdot mm}.
  • Em N·m: T_{crush}=796\,875\cdot0{,}00980665\approx7\,817\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Comparação das duas falhas possíveis:
  • T_{shear}\approx1\,593\,750\\ \mathrm{kgf\cdot mm} (ou \approx15{,}634\\ \mathrm{N\cdot m}).
  • T_{crush}\approx796\,875\\ \mathrm{kgf\cdot mm} (ou \approx7{,}817\\ \mathrm{N\cdot m}).
O modo que limita é o de esmagamento (compressão), pois T_{crush}<T_{shear}. Logo o torque máximo transmissível pela chaveta, considerando \mathrm{F.S.}=2 e \sigma_e=34\\ \mathrm{kgf/mm^2}, é o valor de esmagamento.

Resposta

T_{\max}=796\,875\\ \mathrm{kgf\cdot mm}\approx7\,817\\ \mathrm{N\cdot m}

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