Um eixo maciço de 200 mm de diâmetro e um tubo de diâmetro externo de 200 mm e interno de 150 mm , são feitos de um material que tem uma tensão de cisalhamento admissível de 75 MPa . Determine o torque máximo que pode ser aplicado a cada seção transversal e o torque mínimo no tubo.

Passo 1

O enunciado dá: eixo maciço de diâmetro externo D=200\,\text{mm} e tubo com diâmetro externo D_o=200\,\text{mm} e interno D_i=150\,\text{mm}. O material admite tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max}=75\,\text{MPa}. Para cada seção queremos o torque máximo T tal que
\tau_{\max}=\frac{T\,r}{J}\,,
onde J é o momento polar de inércia da seção e r o raio externo.

Passo 2

Calcular o momento polar de inércia da seção maciça. Para diâmetro D vale
J_s=\frac{\pi}{32}D^4=\frac{\pi}{32}(200\,\text{mm})^4 =\frac{\pi}{32}\times1{,}6\times10^9\,\text{mm}^4 =5{,}0\times10^7\pi\,\text{mm}^4.

Passo 3

Determinar o torque máximo no eixo maciço usando
T_s=\frac{\tau_{\max}\,J_s}{r} \quad\text{com }r=\frac{D}{2}=100\,\text{mm}.
Logo,
T_s =\frac{75\,\frac{N}{mm^2}\times5{,}0\times10^7\pi\,mm^4}{100\,mm} =1{,}1781\times10^8\,N\cdot mm =1{,}1781\times10^5\,N\cdot m \approx1{,}18\times10^5\,N\cdot m.

Passo 4

Calcular o momento polar de inércia da seção tubular:
J_t =\frac{\pi}{32}\bigl(D_o^4-D_i^4\bigr) =\frac{\pi}{32}\bigl((200)^4-(150)^4\bigr)\,mm^4 =\frac{\pi}{32}\times1{,}09375\times10^9\,mm^4 =3{,}418\times10^7\pi\,mm^4.

Passo 5

Determinar o torque máximo no tubo:
T_t =\frac{\tau_{\max}\,J_t}{r_o} \quad\text{com }r_o=\frac{D_o}{2}=100\,\text{mm}.
Logo,
T_t =\frac{75\,\frac{N}{mm^2}\times3{,}418\times10^7\pi\,mm^4}{100\,mm} =8{,}054\times10^7\,N\cdot mm =8{,}054\times10^4\,N\cdot m \approx8{,}05\times10^4\,N\cdot m.

Passo 6

Como o tubo admite menos torque que o eixo maciço, o torque máximo que realmente pode ser aplicado (o “mínimo” entre os dois limites) é o do tubo.

Resposta

Torque máximo no eixo maciço: T_s\approx1{,}18\times10^5\,N\cdot m.
Torque máximo no tubo: T_t\approx8{,}05\times10^4\,N\cdot m.
Torque limite (mínimo dos dois): T_{\min}=T_t\approx8{,}05\times10^4\,N\cdot m.

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