Questāo 1 (5 pontos): Um satélite vai percorrer indefinidamente uma órbita circular em torno da Terra. Se a componente normal da aceleração do satélite for igual a g(R / r)^{2}, onde g é a aceleração da gravidade na superficie da Terra, R é seu raio e r é a distância do centro da Terra até o satélite. Determine a velocidade escalar do satélite relativa à Terra se ele deve percorrer uma órbita circular de 160 km acima de sua superficie, calcule a velocidade que esse satélite deveria ter em Júpiter e no Sol. \left(g_{\text {Tera }}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, r_{\text {Terra }}=6.371 \mathrm{~km}, g_{\text {Sol }}=270 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, r_{\text {Sol }}=695.510 \mathrm{~km}, g_{\text {Jup }}=26 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \mathrm{e} \mathrm{r}_{\text {Jup }}=69.911 \mathrm{~km}\right).

Passo 1

O enunciado dá a componente normal (centrípeta) da aceleração de um satélite em órbita circular como
a_c = g\Bigl(\frac{R}{r}\Bigr)^{2},
onde g e R são a gravidade e o raio do corpo central, e r é a distância do centro até o satélite. O objetivo é encontrar a velocidade escalar v em órbita a 160,km acima da superfície para três corpos distintos (Terra, Júpiter e Sol).

Passo 2

Em órbita circular a distância r, o módulo da aceleração centrípeta é
a_c = \frac{v^2}{r}.
Igualando às informações do enunciado,
\frac{v^2}{r} = g\Bigl(\frac{R}{r}\Bigr)^{2} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = g\,\frac{R^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{g\,R^2}{r}}\,.

Passo 3

Para a Terra:
R_{\rm Terra} = 6371\\ {\rm km}=6{,}371\times10^3\\ {\rm m}, \quad r_{\rm Terra} = R_{\rm Terra} +160\\ {\rm km}=6{,}531\times10^3\\ {\rm m}, \quad g_{\rm Terra}=9{,}81\\ {\rm m/s^2}.
Logo
v_{\rm Terra} = \sqrt{\frac{9{,}81\,(6{,}371\times10^3)^2}{6{,}531\times10^3}} \approx 7{,}80\times10^3\\ {\rm m/s}.

Passo 4

Para Júpiter:
R_{\rm Jup} = 69\,911\\ {\rm km}=6{,}9911\times10^7\\ {\rm m}, \quad r_{\rm Jup} = R_{\rm Jup} +160\\ {\rm km}=7{,}0071\times10^7\\ {\rm m}, \quad g_{\rm Jup}=26\\ {\rm m/s^2}.
Portanto
v_{\rm Jup} = \sqrt{\frac{26\,(6{,}9911\times10^7)^2}{7{,}0071\times10^7}} \approx 4{,}26\times10^4\\ {\rm m/s}.

Passo 5

Para o Sol:
R_{\rm Sol} = 695\,510\\ {\rm km}=6{,}95510\times10^8\\ {\rm m}, \quad r_{\rm Sol} = R_{\rm Sol} +160\\ {\rm km}=6{,}95670\times10^8\\ {\rm m}, \quad g_{\rm Sol}=270\\ {\rm m/s^2}.
Então
v_{\rm Sol} = \sqrt{\frac{270\,(6{,}95510\times10^8)^2}{6{,}95670\times10^8}} \approx 4{,}33\times10^5\\ {\rm m/s}.

Resposta

v_{\rm Terra} \approx 7,80 \times 10^{3} \mathrm{m/s}
v_{\rm Jup} \approx 4,26 \times 10^{4} \mathrm{m/s}
v_{\rm Sol} \approx 4,33 \times 10^{5} \mathrm{m/s}

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