Considere um eixo com 350 mm de diâmetro e admita que nele se execute uma cavidade axial circular de 175 mm de diâmetro.
a) De quanto, em porcentagem, se reduziu sua capacidade de resistência à torção?
b) De quanto, em porcentagem, se reduziu o peso do eixo?

Passo 1

O enunciado dá um eixo cilíndrico sólido de diâmetro \,350\\ \text{mm}\, no qual foi feita uma cavidade axial circular (um furo centrado) de diâmetro \,175\\ \text{mm}\,. Perguntas:
a) Em que porcentagem a capacidade de resistência à torção do eixo foi reduzida por causa desse furo?
b) Em que porcentagem o peso (ou massa, que é proporcional à área da seção transversal) do eixo foi reduzido pelo furo?
Dados extraídos do enunciado:
D = 350\\ \text{mm},\qquad d = 175\\ \text{mm}.

Passo 2

Conceito importante (aula curta e prática): a resistência à torção de um eixo circular está ligada ao momento polar de inércia da seção transversal, chamado de J. Para um eixo circular maciço de diâmetro D a fórmula é
J_{\text{maciço}}=\frac{\pi}{32}\,D^{4}.ç
Para um eixo circular oco (ou maciço com um furo axial) com diâmetro externo D e interno d,
J_{\text{o\acute{c}o}}=\frac{\pi}{32}\left(D^{4}-d^{4}\right).
Por que usar J? Porque a relação entre torque T e tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max} é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c é o raio externo. Para uma mesma tensão admissível \tau_{\max}, o torque máximo suportado é proporcional a J. Logo, comparar resistências à torção é comparar os valores de J.

Passo 3

Vamos escrever a redução percentual da resistência à torção como
\text{redução}_{\tau} = \frac{J_{\text{maciço}}-J_{\text{o\acute{c}o}}}{J_{\text{maciço}}}\times 100\%.çãçç
Substituindo as fórmulas de J:
\text{redução}_{\tau}=\frac{\dfrac{\pi}{32}D^{4}-\dfrac{\pi}{32}\left(D^{4}-d^{4}\right)}{\dfrac{\pi}{32}D^{4}}\times 100\% =\frac{d^{4}}{D^{4}}\times 100\%.çã
Observe que os fatores \dfrac{\pi}{32} cancelaram — ótimo, fica simples: a redução percentual depende apenas da razão d/D elevada à quarta potência.

Passo 4

Calcule a razão \dfrac{d}{D}:
\frac{d}{D}=\frac{175}{350}=\frac{1}{2}=0{,}5.
Eleve à quarta potência:
\left(\frac{d}{D}\right)^{4}=(0{,}5)^{4}=0{,}5^{2}\times 0{,}5^{2}=0{,}25\times0{,}25=0{,}0625.
Portanto a redução percentual da resistência à torção é
\text{redução}_{\tau}=0{,}0625\times 100\%=6{,}25\%.çã

Passo 5

Agora o peso (ou massa) do eixo: para um mesmo material e mesmo comprimento, a massa é proporcional à área da seção transversal. A área de um círculo é \dfrac{\pi}{4}D^{2}. Para o furo, a área removida é \dfrac{\pi}{4}d^{2}. Assim a redução percentual do peso é
\text{redução}_{m}=\frac{\dfrac{\pi}{4}d^{2}}{\dfrac{\pi}{4}D^{2}}\times 100\%=\frac{d^{2}}{D^{2}}\times 100\%.çã
Aqui os fatores \dfrac{\pi}{4} também cancelam.

Passo 6

Calcule com \dfrac{d}{D}=0{,}5:
\left(\frac{d}{D}\right)^{2}=(0{,}5)^{2}=0{,}25.
Portanto a redução percentual do peso é
\text{redução}_{m}=0{,}25\times100\%=25\%.çã

Passo 7

Comentário prático e ânimo: repare que a resistência à torção caiu só 6{,}25\% enquanto o peso caiu 25\%. Isso acontece porque J depende de D^{4} (potência 4) enquanto a área depende de D^{2} (potência 2) — buracos concentricamente pequenos penalizam pouco a rigidez à torção mas removem massa de forma mais significativa. Bom trabalho — já entendendo isso você resolve várias questões de eixo em provas!

Resposta

a\ 6{,}25\%
b\ 25\%

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