Considere um eixo com 350 mm de diâmetro e admita que nele se execute uma cavidade axial circular de 175 mm de diâmetro.
a) De quanto, em porcentagem, se reduziu sua capacidade de resistência à torção?
b) De quanto, em porcentagem, se reduziu o peso do eixo?
a) De quanto, em porcentagem, se reduziu sua capacidade de resistência à torção?
b) De quanto, em porcentagem, se reduziu o peso do eixo?
Passo 1
O enunciado dá um eixo cilíndrico sólido de diâmetro
no qual foi feita uma cavidade axial circular (um furo centrado) de diâmetro
. Perguntas:
a) Em que porcentagem a capacidade de resistência à torção do eixo foi reduzida por causa desse furo?
b) Em que porcentagem o peso (ou massa, que é proporcional à área da seção transversal) do eixo foi reduzido pelo furo?
a) Em que porcentagem a capacidade de resistência à torção do eixo foi reduzida por causa desse furo?
b) Em que porcentagem o peso (ou massa, que é proporcional à área da seção transversal) do eixo foi reduzido pelo furo?
Dados extraídos do enunciado:
Passo 2
Conceito importante (aula curta e prática): a resistência à torção de um eixo circular está ligada ao momento polar de inércia da seção transversal, chamado de
. Para um eixo circular maciço de diâmetro
a fórmula é
Para um eixo circular oco (ou maciço com um furo axial) com diâmetro externo
e interno
,
Por que usar
? Porque a relação entre torque
e tensão de cisalhamento máxima
é
onde
é o raio externo. Para uma mesma tensão admissível
, o torque máximo suportado é proporcional a
. Logo, comparar resistências à torção é comparar os valores de
.
Passo 3
Vamos escrever a redução percentual da resistência à torção como
Substituindo as fórmulas de
:
Observe que os fatores
cancelaram — ótimo, fica simples: a redução percentual depende apenas da razão
elevada à quarta potência.
Passo 4
Calcule a razão
:
Eleve à quarta potência:
Portanto a redução percentual da resistência à torção é
Passo 5
Agora o peso (ou massa) do eixo: para um mesmo material e mesmo comprimento, a massa é proporcional à área da seção transversal. A área de um círculo é
. Para o furo, a área removida é
. Assim a redução percentual do peso é
Aqui os fatores
também cancelam.
Passo 6
Calcule com
:
Portanto a redução percentual do peso é
Passo 7
Comentário prático e ânimo: repare que a resistência à torção caiu só
enquanto o peso caiu
. Isso acontece porque
depende de
(potência 4) enquanto a área depende de
(potência 2) — buracos concentricamente pequenos penalizam pouco a rigidez à torção mas removem massa de forma mais significativa. Bom trabalho — já entendendo isso você resolve várias questões de eixo em provas!