1. Um eixo em rotação foi projetado, fabricado com aço SAE 1040 HR e com diâmetro de 60 mm . As medidas de resistência elétrica indicam que há uma tensão de flexão variando entre 0 a 68 MPa e uma tensão torcional que flutua de 12 MPa para 52 MPa em fase com a tensão normal no ponto crítico do eixo. Determine o fator de segurança em fadiga de vida infinita do eixo com confiabilidade de 99,99 \%. ( \sigma_{u t}=524 \mathrm{MPa}, laminado a quente).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o fator de segurança em fadiga de vida infinita do eixo com confiabilidade de 99{,}99\%.
Dados fornecidos (vou listá‑los todos, com unidades):
\begin{aligned} &\text{Material: aço SAE 1040, laminado a quente}\\\ &\text{diâmetro do eixo: }d=60\\ \text{mm}\\\ &\text{tensão de flexão varia entre }0\\ \text{e}\\\ 68\\ \text{MPa}\\\ &\text{tensão torcional varia entre }12\\ \text{e}\\\ 52\\ \text{MPa}\\\ &\text{essas duas variações estão em fase no ponto crítico}\\\ &\sigma_{ut}=524\\ \text{MPa (resistência última à tração)}\\\ &\text{objetivo: fator de segurança em fadiga para vida infinita com }99{,}99\% \text{ de confiabilidade.} \end{aligned}çâãããçõãíêúàçãç

Passo 2

Estratégia de cálculo (sem desenvolver ainda): para vida infinita precisamos comparar a tensão alternante equivalente com o limite de resistência à fadiga adaptado para o material e condição (fatores de superfície, tamanho, confiabilidade etc.). Vou:
  1. Estimar o limite de resistência à fadiga básico S_e'.
  2. Aplicar os fatores de correção ( k_a,k_b,k_c,k_d,k_e) para obter S_e.
  3. Calcular as componentes média e alternante de tensão normal (flexão) e de tensão de cisalhamento (torção).
  4. Converter essas componentes em tensões equivalentes alternante e média usando a regra de von Mises para fadiga.
  5. Aplicar o critério de falha (Goodman modificado) para obter o fator de segurança n.

Passo 3

Estimativa do limite de resistência à fadiga não corrigido S_e'.
Regra prática para aços com \sigma_{ut} abaixo de ~1400 MPa:
S_e' = 0{,}5\,\sigma_{ut}.
Aqui:
S_e' = 0{,}5\cdot 524 = 262\\ \text{MPa}.
Explicação: em tabelas usuais (Shigley etc.) toma‑se metade da resistência última como um valor inicial do limite de resistência à fadiga para aço em boas condições (rodas, eixos).

Passo 4

Cálculo do fator de acabamento de superfície k_a.
Fórmula empírica (Shigley) para acabamento “laminado a quente” usa constantes a e b:
k_a = a\,\sigma_{ut}^{\,b},
com para “hot‑rolled”: a=57{,}7,\; b=-0{,}718 (valores tabelados). Então:
k_a = 57{,}7\cdot 524^{-0{,}718}.
Calculemos:
524^{-0{,}718} = e^{-0{,}718\ln(524)} \approx e^{-4{,}496}\approx 0{,}01114,
k_a \approx 57{,}7\cdot 0{,}01114 \approx 0{,}643.
Interpretação: k_a<1 reduz o limite de fadiga por causa da superfície rugosa do laminação a quente.

Passo 5

Cálculo do fator de tamanho k_b.
Para eixo submetido principalmente à flexão (rotating bending) usa‑se a fórmula empírica:
k_b = 0{,}879\,d^{-0{,}107},\quad d\\ \text{em mm (para }8<d<250\text{ mm).}
Com d=60\\ \text{mm}:
k_b = 0{,}879\cdot 60^{-0{,}107}.
Calculemos:
60^{-0{,}107} = e^{-0{,}107\ln(60)} \approx e^{-0{,}438} \approx 0{,}646,
k_b \approx 0{,}879\cdot 0{,}646 \approx 0{,}567.
Comentário: eixos grandes têm redução significativa do limite de fadiga por efeitos de tamanho.

Passo 6

Outros fatores: carga, temperatura e confiabilidade.
  • Fator de carga k_c: para carregamento por flexão puro costuma‑se usar k_c=1{,}0 (nenhuma penalização adicional).
  • Fator de temperatura k_d: assumimos temperatura ambiente, então k_d=1{,}0.
  • Fator de confiabilidade k_e: valor tabelado que reduz S_e conforme a confiabilidade desejada. Usando tabela padrão (Shigley), para confiabilidade 99{,}99\% toma‑se aproximadamente
k_e \approx 0{,}702.
(Observação: esse valor vem de tabelas estatísticas usadas em projetos de fadiga; quanto maior a confiabilidade exigida, menor o fator.)

Passo 7

Cálculo do limite de fadiga corrigido S_e.
S_e = k_a\,k_b\,k_c\,k_d\,k_e\,S_e'.
Substituindo:
S_e = 0{,}643\cdot 0{,}567\cdot 1{,}0\cdot 1{,}0\cdot 0{,}702\cdot 262\\ \text{MPa}.
Calcule passo a passo:
0{,}643\cdot 0{,}567 \approx 0{,}3647,
0{,}3647\cdot 0{,}702 \approx 0{,}2558,
S_e \approx 0{,}2558\cdot 262 \approx 67{,}01\\ \text{MPa}.
Interpretação: depois das correções, o limite de fadiga efetivo para este eixo e confiabilidade fica cerca de 67\\ \text{MPa}.

Passo 8

Cálculo das tensões média e alternante para flexão e torção.
Regra geral, se uma tensão varia entre \sigma_{min} e \sigma_{max}:
\sigma_m = \frac{\sigma_{max}+\sigma_{min}}{2},\qquad \sigma_a = \frac{\sigma_{max}-\sigma_{min}}{2}.
Aplicando à flexão (normal):
\sigma_{max}=68\\ \text{MPa},\\ \sigma_{min}=0\Rightarrow \sigma_m = \frac{68+0}{2}=34\\ \text{MPa},\quad \sigma_a=\frac{68-0}{2}=34\\ \text{MPa}.
Para a torção (cisalhamento):
\tau_{max}=52\\ \text{MPa},\\ \tau_{min}=12\\ \text{MPa}\Rightarrow \tau_m=\frac{52+12}{2}=32\\ \text{MPa},\quad \tau_a=\frac{52-12}{2}=20\\ \text{MPa}.

Passo 9

Converter tensões normal e de cisalhamento em tensões equivalentes para fadiga (usando critério de von Mises para tensões alternante e média).
Explicação didática: para combinar efeito da flexão (normais) com torção (cisalhantes) usa‑se a tensão equivalente de distorção (von Mises) porque a fadiga depende da energia de distorção. Para componentes alternante e média, fazemos:
\sigma'_a = \sqrt{\sigma_a^{2}+3\,\tau_a^{2}}, \qquad \sigma'_m = \sqrt{\sigma_m^{2}+3\,\tau_m^{2}}.
Substituindo os números:
\sigma'_a = \sqrt{34^{2}+3\cdot 20^{2}}=\sqrt{1156+1200}=\sqrt{2356}\approx 48{,}54\\ \text{MPa},
\sigma'_m = \sqrt{34^{2}+3\cdot 32^{2}}=\sqrt{1156+3072}=\sqrt{4228}\approx 65{,}02\\ \text{MPa}.

Passo 10

Aplicação do critério de Goodman (modificado) para cálculo do fator de segurança.
Fórmula de Goodman (forma linear) usada aqui:
\frac{\sigma'_a}{S_e}+\frac{\sigma'_m}{\sigma_{ut}}=\frac{1}{n},
onde
  • \sigma'_a é a tensão alternante equivalente (MPa),
  • S_e é o limite de fadiga corrigido (MPa),
  • \sigma'_m é a tensão média equivalente (MPa),
  • \sigma_{ut} é a resistência última (MPa),
  • n é o fator de segurança procurado.
Substituindo valores:
\frac{48{,}54}{67{,}01}+\frac{65{,}02}{524} \approx 0{,}7245+0{,}1241=0{,}8486.
Logo
\frac{1}{n}=0{,}8486\quad\Rightarrow\quad n=\frac{1}{0{,}8486}\approx 1{,}1787.
Arredondando com sentido prático:
n\approx 1{,}18.

Resposta

n \approx 1{,}18

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